本篇文章由两部分组成.
第一部分:
关于矩阵的行列式,Strang给出了3个主要性质,并由此派生出了另外7个性质,加在一起共10个,有点多,我是记不住.
但是三个主要性质还是能记住的:
1) det(I)=1
2) 交换行列式的任意两行,行列式的符号发生改变
3)
由此,我可以得到一个重要的等式
推导过程如下:任意一个矩阵A都可以写成下三角矩阵和一个上三角矩阵相乘的形式,即矩阵的LU分解,所以,我们要证明上式成立实际上就是证明下式成立
\
我们知道,矩阵A的LU分解来自Gauss-Jordan变换,所以矩阵L的对角线元素全为1,如果不信,大家可以试一试,我是试了的
那么,
所以,我们只需要证明
实际上,因为U是上三角阵,所以,上式是显然成立的.
综上所述,我们得到了.
第二部分:
行列式公式和代数余子式
对于任意一个2*2的行列式,有
对于3*3的矩阵,可以展开成27个行列式,它们中有很多都是0,不为0的如下:
总之,我们可以得到下面这个式子成立:
其中列标
是1,2,3...n的一个排列,这种排列共有n!项
大概就是归纳了这些