最近公共祖先与RMQ问题

现在的位置: 首页 > 综合 > 正文

RSS

最近公共祖先与RMQ问题

2013年05月05日 ⁄ 综合 ⁄ 共 1969字 ⁄ 字号小中大 ⁄ 评论关闭

导读：

　　一、最近公共祖先(Least Common Ancestors)

　　对于有根树T的两个结点u、v，最近公共祖先LCA(T,u,v)表示一个结点x，满足x是u、v的祖先且x的深度尽可能大。另一种理解方式是把T理解为一个无向无环图，而LCA(T,u,v)即u到v的最短路上深度最小的点。

　　这里给出一个LCA的例子：

　　例一

　　对于T=

　　V={1,2,3,4,5}

　　E={(1,2),(1,3),(3,4),(3,5)}

　　则有：

　　LCA(T,5,2)=1

　　LCA(T,3,4)=3

　　LCA(T,4,5)=3

　　二、RMQ问题(Range Minimum Query)

　　RMQ问题是指：对于长度为n的数列A，回答若干询问RMQ(A,i,j)(i,j
　　下标在[i,j]里的最小值下标。这时一个RMQ问题的例子：

　　例二

　　对数列：5,8,1,3,6,4,9,5,7 有：

　　RMQ(2,4)=3

　　RMQ(6,9)=6

　　RMQ问题与LCA问题的关系紧密，可以相互转换，相应的求解算法也有异曲同工之妙。

　　下面给出LCA问题向RMQ问题的转化方法。

　　对树进行深度优先遍历，每当“进入”或回溯到某个结点时，将这个结点的深度存入数组

　　E最后一位。同时记录结点i在数组中第一次出现的位置(事实上就是进入结点i时记录的

　　位置)，记做R[i]。如果结点E[i]的深度记做D[i]，易见，这时求LCA(T,u,v)，就等价于求

　　E[RMQ(D,R[u],R[v])]，(R[u]
　　数列E[i]为：1,2,1,3,4,3,5,3,1

　　R[i]为：1,2,4,5,7

　　D[i]为：0,1,0,1,2,1,2,1,0

　　于是有：

　　LCA(T,5,2) = E[RMQ(D,R[2],R[5])] = E[RMQ(D,2,7)] = E[3] = 1

　　LCA(T,3,4) = E[RMQ(D,R[3],R[4])] = E[RMQ(D,4,5)] = E[4] = 3

　　LCA(T,4,5) = E[RMQ(D,R[4],R[5])] = E[RMQ(D,5,7)] = E[6] = 3

　　易知，转化后得到的数列长度为树的结点数的两倍加一，所以转化后的RMQ问题与LCA

　　问题的规模同次。

　　RMQ问题以及ST算法

　　RMQ(Range Minimum/Maximum Query)问题是求区间最值问题。你当然可以写个O(n)的（怎么写都可以吧=_=),但是万一要询问最值1000000遍，估计你就要挂了。这时候你可以放心地写一个线段树（前提是不写错）O（logn)的复杂度应该不会挂。但是，这里有更牛的算法，就是ST算法，它可以做到O(nlogn)的预处理，O(1)！！！地回答每个询问。

　　来看一下ST算法是怎么实现的(以最大值为例）：

　　首先是预处理，用一个DP解决。设a[i]是要求区间最值的数列，f[i,j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。例如数列3 2 4 5 6 8 1 2 9 7 ,f[1，0]表示第1个数起，长度为2^0=1的最大值，其实就是3这个数。f[1，2]=5，f[1，3]=8，f[2，0]=2，f[2，1]=4……从这里可以看出f[i,0]其实就等于a[i]。这样，Dp的状态、初值都已经有了，剩下的就是状态转移方程。我们把f[i，j]平均分成两段（因为f[i，j]一定是偶数个数字），从i到i+2^(j-1)-1为一段，i+2^(j-1)到i+2^j-1为一段(长度都为2^（j-1）)。用上例说明，当i=1，j=3时就是3,2,4,5 和 6,8,1,2这两段。f[i，j]就是这两段的最大值中的最大值。于是我们得到了动规方程F[i,j]=max（F[i，j-1],F[i+2^(j-i)，j-1]）.

　　接下来是得出最值，也许你想不到计算出f[i，j]有什么用处，一般毛想想计算max还是要O(logn)，甚至O(n)。但有一个很好的办法，做到了O（1）