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本文直接举实例说明ForwardAlgorithm (前向算法)

由马尔科夫模型MM可知:对于一个系统，由一个状态转至另一个状态的转换过程中，存在着转移概率，并且这种转移概率可以依据其紧接的前一种状态推算出来，与该系统的原始状态和此次转移前的马尔可夫过程无关。

隐马尔可夫模型（HiddenMarkov models，HMM）是马尔可夫链的一种，它的状态不能直接观察到，但能通过观测向量序列观察到，每个观测向量都是通过某些概率密度分布表现为各种状态，每一个观测向量是由一个具有相应概率密度分布的状态序列产生。

假设连续观察3天的海藻湿度为(Dry,Damp, Soggy),求出该观察序列的概率。天气只有三类(Sunny,Cloudy,
Rainy)，而且海藻湿度和天气有一定的关系。

已知：

1.      隐藏的状态：Sunny, Cloudy, Rainy;海藻湿度有四类{Dry,Dryish, Damp, Soggy }

2.      观察状态序列：{ Dry, Damp, Soggy };

3.      初始状态序列：Sunny(0.63), Cloudy(0.17),Rainy(0.20);

4.      状态转移矩阵：

Cloudy(昨天)->Sunny(今天)的概率是0.25;

Sunny(昨天)->Rainy(今天)的概率是0.125.

5.      混淆矩阵（海藻湿度与天气的相关性）：

观察到海藻湿度Dry，则当天Sunny的概率是0.6;Cloudy的概率是0.25；而当天Rainy的概率是0.05.

How to calculate the probability of this observation list?

即统计P(observation|Sunny, Sunny, Sunny)+P(observation| Sunny, Sunny, Cloudy)+ P(observation| Sunny,Sunny, Rainy)+ P(observation| Sunny, Cloudy, Sunny) + P(observation| Sunny, Cloudy,Cloudy) + P(observation|
Sunny, Cloudy, Rainy) + …

总共的可能性有3^3种。

实际由于马尔科夫模型，我们得知其实第二天的状况只取决于第一天，第三天的天气已经与第一天的天气没有关系了。

我们可以先求P(Day1-Sunny),P(Day1-Cloudy), P(Day1-Rainy),Day1的海藻湿度是Dry.

P(Day1-Sunny) = 0.63*0.6;

P(Day1-Cloudy)=0.17*0.25;

P(Day1-Rain)=0.20*0.05;

继续求P(Day2-Sunny), P(Day2-Cloudy),P(Day2-Rainy), Day2的海藻湿度是Damp.

P(Day2-Suny)= (P(Day1-Sunny)*0.5 + P(Day1-Cloudy)*0.25 +P(Day1-Rainy)*0.25)* 0.15

P(Day2-Cloudy) =
(P(Day1-Sunny)*0.375+ P(Day1-Cloudy)*0.125 + P(Day1-Rainy)*0.625) * 0.25

P(Day2-Rainy) =(P(Day1-Sunny)*0.125+ P(Day1-Cloudy)*0.625 + P(Day1-Rainy)*0.375)* 0.35

同理继续求第三日的各天气概率，Day3的海藻湿度是Soggy.

P(Day3-Suny)= (P(Day2-Sunny)*0.5 + P(Day1-Cloudy)*0.25 +P(Day1-Rainy)*0.25)* 0.05

P(Day3-Cloudy) =
(P(Day2-Sunny)*0.375+ P(Day1-Cloudy)*0.125 + P(Day1-Rainy)*0.625) * 0.25

P(Day3-Rainy) =(P(Day2-Sunny)*0.125+ P(Day1-Cloudy)*0.625 + P(Day1-Rainy)*0.375)* 0.50

推出：

P(observation list) =P(Day3-Sunny)+P(Day3-Cloudy)+P(Day3-Rainy) = 0.030319

参考：

http://luyifanlife.blog.163.com/blog/static/20024105720126272311612/