From:
http://blog.csdn.net/ssfp8762/archive/2009/07/08/4331419.aspx
有一个单链表,其中可能有一个环,也就是某个节点的next指向的是链表中在它之前的节点,这样在链表的尾部形成一环。
问题:
1、如何判断一个链表是不是这类链表?
2、如果链表为存在环,如果找到环的入口点?
解答:
一、判断链表是否存在环,办法为:
设置两个指针(fast, slow),初始值都指向头,slow每次前进一步,fast每次前进二步,如果链表存在环,则fast必定先进入环,而slow后进入环,两个指针必定相遇。(当然,fast先行头到尾部为NULL,则为无环链表)程序如下:
{
slist * slow = head , * fast = head;
while ( fast && fast -> next )
{
slow = slow -> next;
fast = fast -> next -> next;
if ( slow == fast ) break ;
} return ! (fast == NULL || fast -> next == NULL);
}
二、找到环的入口点
当fast若与slow相遇时,slow肯定没有走遍历完链表,而fast已经在环内循环了n圈(1<=n)。假设slow走了s步,则fast走了2s步(fast步数还等于s 加上在环上多转的n圈),设环长为r,则:
2s = s + nr
s= nr
设整个链表长L,入口环与相遇点距离为x,起点到环入口点的距离为a。
a + x = nr
a + x = (n – 1)r +r = (n-1)r + L - a
a = (n-1)r + (L – a – x)
(L – a – x)为相遇点到环入口点的距离,由此可知,从链表头到环入口点等于(n-1)循环内环+相遇点到环入口点,于是我们从链表头、与相遇点分别设一个指针,每次各走一步,两个指针必定相遇,且相遇第一点为环入口点。
程序描述如下:
slist * FindLoopPort(slist * head)
{
slist * slow = head, * fast = head;
while ( fast && fast -> next )
{
slow = slow -> next;
fast = fast -> next -> next;
if ( slow == fast ) break ;
}
if (fast == NULL || fast -> next == NULL)
return NULL;
slow = head;
while (slow != fast)
{
slow = slow -> next;
fast = fast -> next;
}
return slow;
}
附一种易于理解的解释:
一种O(n)的办法就是(搞两个指针,一个每次递增一步,一个每次递增两步,如果有环的话两者必然重合,反之亦然):
关于这个解法最形象的比喻就是在操场当中跑步,速度快的会把速度慢的扣圈
可以证明,p2追赶上p1的时候,p1一定还没有走完一遍环路,p2也不会跨越p1多圈才追上
我们可以从p2和p1的位置差距来证明,p2一定会赶上p1但是不会跳过p1的
因为p2每次走2步,而p1走一步,所以他们之间的差距是一步一步的缩小,4,3,2,1,0 到0的时候就重合了
根据这个方式,可以证明,p2每次走三步以上,并不总能加快检测的速度,反而有可能判别不出有环
既然能够判断出是否是有环路,那改如何找到这个环路的入口呢?
解法如下: 当p2按照每次2步,p1每次一步的方式走,发现p2和p1重合,确定了单向链表有环路了
接下来,让p2回到链表的头部,重新走,每次步长不是走2了,而是走1,那么当p1和p2再次相遇的时候,就是环路的入口了。
这点可以证明的:
在p2和p1第一次相遇的时候,假定p1走了n步骤,环路的入口是在p步的时候经过的,那么有
p1走的路径: p+c = n; c为p1和p2相交点,距离环路入口的距离
p2走的路径: p+c+k*L = 2*n; L为环路的周长,k是整数
显然,如果从p+c点开始,p1再走n步骤的话,还可以回到p+c这个点
同时p2从头开始走的话,经过n步,也会达到p+c这点
显然在这个步骤当中p1和p2只有前p步骤走的路径不同,所以当p1和p2再次重合的时候,必然是在链表的环路入口点上。
扩展问题:
判断两个单链表是否相交,如果相交,给出相交的第一个点(两个链表都不存在环)。
比较好的方法有两个:
一、将其中一个链表首尾相连,检测另外一个链表是否存在环,如果存在,则两个链表相交,而检测出来的依赖环入口即为相交的第一个点。
二、如果两个链表相交,那个两个链表从相交点到链表结束都是相同的节点,我们可以先遍历一个链表,直到尾部,再遍历另外一个链表,如果也可以走到同样的结尾点,则两个链表相交。
这时我们记下两个链表length,再遍历一次,长链表节点先出发前进(lengthMax-lengthMin)步,之后两个链表同时前进,每次一步,相遇的第一点即为两个链表相交的第一个点。
http://topic.csdn.net/u/20090118/20/c71a185b-f217-4c7d-aba7-fad3f8857428.html
一种O(n)的办法就是(搞两个指针,一个每次递增一步,一个每次递增两步,如果有环的
话两者必然重合,反之亦然):
关于这个解法最形象的比喻就是在操场当中跑步,速度快的会把速度慢的扣圈
可以证明,p2追赶上p1的时候,p1一定还没有走完一遍环路,p2也不会跨越p1多圈才追上
我们可以从p2和p1的位置差距来证明,p2一定会赶上p1但是不会跳过p1的
因为p2每次走2步,而p1走一步,所以他们之间的差距是一步一步的缩小,4,3,2,1,0
到0的时候就重合了
根据这个方式,可以证明,p2每次走三步以上,并不总能加快检测的速度,反而有可能判别
不出有环
既然能够判断出是否是有环路,那改如何找到这个环路的入口呢?
解法如下: 当p2按照每次2步,p1每次一步的方式走,发现p2和p1重合,确定了单向链表有
环路了
接下来,让p2回到链表的头部,重新走,每次步长不是走2了,而是走1,那么当p1和p2再次
相遇的时候,就是环路的入口了。
这点可以证明的:
在p2和p1第一次相遇的时候,假定p1走了n步骤,环路的入口是在p步的时候经过的,那么有
p1走的路径: p+c = n; c为p1和p2相交点,距离环路入口的距离
p2走的路径: p+c+k*L = 2*N; L为环路的周长,k是整数
显然,如果从p+c点开始,p1再走n步骤的话,还可以回到p+c这个点
同时p2从头开始走的话,经过n不,也会达到p+c这点
显然在这个步骤当中p1和p2只有前p步骤走的路径不同,所以当p1和p2再次重合的时候,必
然是在链表的环路入口点上。
我不明白的是这个:
显然,如果从p+c点开始,p1再走n步骤的话,还可以回到p+c这个点
为什么p1再走n步肯定会到p+c这个点呢?
--
把自己当成别人;把别人当成自己;把别人当成别人;把自己当成自己.
※ 来源:·水木社区 newsmth.net·[FROM: 220.205.145.*]
发信人: techyb (struggleyb), 信区: Algorithm
标 题: Re: 关于链表环的判断问题
发信站: 水木社区 (Thu Dec 11 21:41:27 2008), 站内
n是环的长度啊,走环一周,当然回到自己的位置
【 在 len1982 (牧童|天黑黑) 的大作中提到: 】
: 一种O(n)的办法就是(搞两个指针,一个每次递增一步,一个每次递增两步,如果有?
的话两者必然重合,反之亦然):
: 关于这个解法最形象的比喻就是在操场当中跑步,速度快的会把速度慢的扣圈
: 可以证明,p2追赶上p1的时候,p1一定还没有走完一遍环路,p2也不会跨越p1多圈才追?
: ...................
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发信人: len1982 (牧童|天黑黑), 信区: Algorithm
标 题: Re: 关于链表环的判断问题
发信站: 水木社区 (Thu Dec 11 21:51:03 2008), 站内
n怎么会是环的长度?
环的长度不是不确定的吗?
实在是想不明白
【 在 techyb (struggleyb) 的大作中提到: 】
: n是环的长度啊,走环一周,当然回到自己的位置
--
台球三项基本原则:走位基本靠喊,进球基本靠蒙,赢球基本靠摆
发信人: threader (例如,每天爱你多一些), 信区: Algorithm
标 题: Re: 关于链表环的判断问题
发信站: 水木社区 (Thu Dec 11 22:20:59 2008), 站内
p1走的路径: p+c = n; c为p1和p2相交点,距离环路入口的距离
p2走的路径: p+c+k*L = 2*N; L为环路的周长,k是整数
~~这里是n
算一下 n=p+c=k*L
是环长的整数倍
所以走n步还在那个p+c点
【 在 len1982 (牧童|天黑黑) 的大作中提到: 】
: n怎么会是环的长度?
: 环的长度不是不确定的吗?
: 实在是想不明白
: ...................
http://topic.csdn.net/u/20090114/13/f8ee7aa3-31a3-4616-b9e5-2650b37d8204.html
http://blog.csdn.net/ssfp8762/archive/2009/07/08/4331419.aspx
假设该链表在环出现之前有L个结点,环中有C个结点。
再假设慢指针初始化时指向的位置为a、快指针初始化时指向的位置为b,
如果二者在t次移动后相遇,也就是说:(a+t-L) mod C == (b+2*t-L) mod C
稍微变形一下就可以看出,t==a-b(mod C)这个模线性方程一定有解
所以无论a、b的起始位置如何,二者总是会相遇的。
这种方法之所以能够判断链表中是否有环,是要使快、慢指针在环里转圈的时候总会碰面。
所以快慢指针的步长选择很重要,起始位置倒是无关紧要的事情。
现实生活中固然是这样。但这个例子是个离散模型,所以不能这么想当然。
比方说:假设链表是由4个结点首尾相接构成的一个圆圈(编号为0~3)
慢指针初始位置在0,每次前进1步;
快指针初始位置在3,每次前进3步;
虽然这两个指针也是一快一慢一前一后,但它们永远也不会相遇!
说到底就是要保证模线性方程有解,所以前面也说了“快慢指针的步长选择很重要”。
楼主的代码里慢指针每次前进1步、快指针每次前进2步,这样是肯定能够相遇的。