最近做camera 的 AI，需要对四元数，欧拉角等要有一定的了解，把前面学习的整理了一下：
1。四元数的优势： 三维空间的旋转完全可以由4元数来胜任。传统意义上需要3×3矩阵来进行向量的旋转（4x4矩阵的第四列表示平移）。所以四元数更节省空间，运算速度更快。既然四元数能方便的表示3D旋转，那么对他们进行插值就能产生平滑的旋转效果。
劣势可能是比较抽象，不大好理解。而且据说顶点变换还是矩阵效率更高（涉及到平移）。
2。四元数的物理意义：
Q( x, y, z, w)来表示向量 绕轴 A（ax, ay,az) 旋转alpha
则： x ＝ sin(alpha/2)*ax;
y = sin(alpha/2)*ay;
z = sin(alpha/2)*az;
w = cos(alpha/2);
3。四元素的数学意义：
我们知道 复数的表示为 a+bi; 其中i*i = -1;
四元数 q = w + xi + yi +zi;
复数的运算法则为四元数的数学运算提供了规则基础。比如说乘法，加法等。
4。四元数和矩阵间的转换：
QX =0; QY=1;QZ=2;QW=3;
void quat_ConvertFromMatrix(float *pQuat, const float mat[4][4])
{
float diag, s;
int i, j, k;
diag = mat[0][0] + mat[1][1] + mat[2][2];
if(diag < -0.999f )
{
i = QX;
if( mat[QY][QY] > mat[QX][QX] )
i = QY;
if( mat[QZ][QZ] > mat[i][i] )
i = QZ;
j = g_QNext[i];
k = g_QNext[j];
s = ltsqrtf( mat[i][i] - ( mat[j][j] + mat[k][k] ) + /*mat[3][3]*/ 1.0f );
pQuat[i] = s * 0.5f;
s = 0.5f / s;
pQuat[QW] = ( mat[k][j] - mat[j][k] ) * s;
pQuat[j] = ( mat[j][i] + mat[i][j] ) * s;
pQuat[k] = ( mat[k][i] + mat[i][k] ) * s;
return;
}
s = ltsqrtf( diag + /*mat[3][3]*/ 1.0f );
pQuat[3] = s * 0.5f;
s = 0.5f / s;
pQuat[0] = (mat[2][1] - mat[1][2]) * s;
pQuat[1] = (mat[0][2] - mat[2][0]) * s;
pQuat[2] = (mat[1][0] - mat[0][1]) * s;
}
void quat_ConvertToMatrix(const float *pQuat, float mat[4][4])
{
float s, xs, ys, zs, wx, wy, wz, xx, xy, xz, yy, yz, zz;
/*!
get the values for matrix calcuation.
*/
s = 2.0f / ((pQuat[0] * pQuat[0]) + (pQuat[1] * pQuat[1]) +
(pQuat[2] * pQuat[2]) + (pQuat[3] * pQuat[3]));
xs = pQuat[0] * s;
ys = pQuat[1] * s;
zs = pQuat[2] * s;
wx = pQuat[3] * xs;
wy = pQuat[3] * ys;
wz = pQuat[3] * zs;
xx = pQuat[0] * xs;
xy = pQuat[0] * ys;
xz = pQuat[0] * zs;
yy = pQuat[1] * ys;
yz = pQuat[1] * zs;
zz = pQuat[2] * zs;
/*!
Fill in matrix
*/
mat[0][0] = 1.0f - (yy + zz);
mat[0][1] = xy - wz;
mat[0][2] = xz + wy;
mat[1][0] = xy + wz;
mat[1][1] = 1.0f - (xx + zz);
mat[1][2] = yz - wx;
mat[2][0] = xz - wy;
mat[2][1] = yz + wx;
mat[2][2] = 1.0f - (xx + yy);
mat[0][3] = mat[1][3] = mat[2][3] = mat[3][0] = mat[3][1] = mat[3][2] = 0.0f;
mat[3][3] = 1.0f;
}
具体推倒过程可以参考相关文献。
5。四元数插值： 有很多插值方法，比如线性，球形，样条插值等；
lerp (t;,q0,q1) = (1-t)q0 + tq1 ;//快速，但动画不平滑，需要归一化 / ||(1-t)q0 + tq1||;
slerp( t;, q0,q1) = [q0 *sin(thata(1-thata)) + q1sin(thata*t)] / sin(thata); //平滑，归一化；
thata 为q0 q1夹角。q0 dot q1 ＝ cos(thata);
相关代码：
void quat_Slerp(float *pDest, const float *pQ1, const float *pQ2, float t)
{
float rot1q[4];
float omega, cosom, oosinom;
float scalerot0, scalerot1;
/*!
Calculate the cosine
*/
cosom = pQ1[0]*pQ2[0] + pQ1[1]*pQ2[1] + pQ1[2]*pQ2[2] + pQ1[3]*pQ2[3];
/*!
adjust signs if necessary
*/
if(cosom < 0.0f)
{
cosom = -cosom;
rot1q[0] = -pQ2[0];
rot1q[1] = -pQ2[1];
rot1q[2] = -pQ2[2];
rot1q[3] = -pQ2[3];
}
else
{
rot1q[0] = pQ2[0];
rot1q[1] = pQ2[1];
rot1q[2] = pQ2[2];
rot1q[3] = pQ2[3];
}
/*!
calculate interpolating coeffs
*/
if ( (1.0f - cosom) > 0.0001f )
{
/*!
standard case
*/
omega = ltacosf(cosom);
oosinom = 1.0f / ltsinf(omega);
scalerot0 = ltsinf((1.f - t) * omega) * oosinom;
scalerot1 = ltsinf(t * omega) * oosinom;
}
else
{
/*!
rot0 and rot1 very close - just do linear interp.
*/
scalerot0 = 1.0f - t;
scalerot1 = t;
}
//! build the new quarternion
pDest[0] = (scalerot0 * pQ1[0] + scalerot1 * rot1q[0]);
pDest[1] = (scalerot0 * pQ1[1] + scalerot1 * rot1q[1]);
pDest[2] = (scalerot0 * pQ1[2] + scalerot1 * rot1q[2]);
pDest[3] = (scalerot0 * pQ1[3] + scalerot1 * rot1q[3]);
}
参考文献：
游戏编程精粹
LithTech引擎