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《算法导论》笔记－－红黑树（二）

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红黑树的节点删除

从红黑树上删除一个节点，可以先用普通二叉搜索树的方法，将节点从红黑树上删除掉，然后再将被破坏的红黑性质进行恢复。

我们回忆一下普通二叉树的节点删除方法：Z指向需要删除的节点，Y指向实质结构上被删除的结点，如果Z节点只有一个子节点或没有子节点，那么Y就是指向Z指向的节点。如果Z节点有两个子节点，那么Y指向Z节点的后继节点（其实前趋也是一样的），而Z的后继节点绝对不可能有左子树。因此，仅从结构来看，二叉树上实质被删除的节点最多只可能有一个子树。

现在我们来看红黑性质的恢复过程：

如果Y指向的节点是个红色节点，那么直接删除掉Y以后，红黑性质不会被破坏。操作结束。

如果Y指向的节点是个黑色节点，那么就有几条红黑性质可能受到破坏了。首先是包含Y节点的所有路径，黑高度都减少了一（第５条被破坏）。其次，如果Y的有红色子节点，Y又有红色的父节点，那么Y被删除后，就出现了两个相邻的红色节点（第４条被破坏）。最后，如果Y指向的是根节点，而Y的子节点又是红色的，那么Y被删除后，根节点就变成红色的了（第２条被破坏）。

其中，第５条被破坏是让我们比较难受的。因为这影响到了全局。这样动作就太大太复杂了。而且在这个条件下，进行其它红黑性质的恢复也很困难。所以我们首先解决这个问题：如果不改变含Y路径的黑高度，那么树的其它部分的黑高度就必须做出相应的变化来适应它。所以，我们想办法恢复原来含Y节点的路径的黑高度。做法就是把Y节点的黑色，推到它的子节点X上去。（X可能是NIL节点）。这样，X就可能具有双重黑色，或是同时具有红黑两色，也就是第１条性质被破坏了。

但第１条性质是比较容易恢复的：一、如果X是同时具有红黑两色，那么好办，直接把X涂成黑色，就行了。而且这样把所有问题都解决了。因为将X变为黑色，２、４两条如果有问题的话也会得到恢复。二、如果X是双黑色，那么我们希望把这种情况向上推一直推到根节点（调整树结构和颜色，X的指向新的双黑色节点，X不断向上移动），让根节点具双黑色，这时，直接把X的一层黑色去掉就行了（因为根节点被包含在所有的路径上，所以这样做所有路径同时黑高减少一，不会破坏红黑特征）。

下面就具体地分析如何恢复1、２、４三个可能被破坏的红黑特性：我们知道，如果X指向的节点是有红黑两色，或是X是根节点时，只需要简单的对X进行一些改变就行了。要对除X节点外的其它节点进行操作时，必定是这样的情况：X节点是双层黑色，且X有父节点P。由知可知，X必然有兄弟节点W，而且这个W节点必定有两个子节点。（因为这是原树满足红黑条件要求而自然具备的。X为双黑色，那么P的另一个子节点以下一定要有至少两层的节点，否则高黑度不可能和X路径一致）。所以我们就分析这些节点之间如何变形，把问题限制在比较小的范围内解决。另一个前提是：X在一开始，肯定是树底的叶节点或是NIL节点，所以在递归向上的过程中，每一步都保证下一步进行时，至少 X的子树是满足红黑特性的。因此子树的情况就可以认为是已经正确的了，这样，分析就只限制在X节点，X的父节点P，X的兄弟节点W，以及W的两个子节点。这些个节点中。

W以及W的两个子节点C1和C1的一共有五种组合，便有两种情况的处理是一致的，因此调整的过程可以分以下四个情况：

第一种情况：W是红色节点

如上图，如果W是红色的，那么B和D节点进行一次左旋，并把D（也就是原来的W）着为黑色，B节点（X的父节点）着为红色。然后让W指向X的新兄弟。这样，就把这种情况转化为了W为黑色的情况来解决。在这个变形中，这五个节点之间保持了红黑性质不变，而X指向的双黑色节点的位置和颜色特性都没有变化。变形后的情况如何解决呢？下面的都是W为黑色的问题，因此下面三种中总有一种会合适。

PS：有没有其它变形呢？有，比如C和D进行右旋，B节点变为红色，变形后五个节点红黑正确的，但是这五个节点与树的其它部分相接处可能会产生问题，这样要考虑的因素就太多了。

第二种情况：W以及W的两个子节点都是黑色的

如上图，注意，B即可以是红色也可以是黑色。

这种情况下，把D节点着成红色。然后把X的一个黑色推到父节点B中去，这时X就指向B节点了。变形前后，这五个节点间的黑高是没有变化的。

唯一可能产生问题的就是如果B原来是红色，那么B和D两个红色相邻就破坏了第４个性质，这样新X的子树就有问题了。这本来不符合我们向上递归的假设。但正好在这种情况下递归就可以结束了。因为B节点原来是红色，现在双加一层黑色，那么X现在指向的这个节点就是红黑两色的，直接把X（也就是B）着为黑色。问题就已经完整解决了。

如果B节点现在是双层黑色，那就以B为新的X进行向上的下一次的递归。

第三种情况：W的左子节点是红色的且右子节点是黑色。

  如上图，B即可以是黑色也可以是红色。

  把C和D进行一次旋转，改变C和D的颜色变形成新的结构。把问题转化成W的右子节点为红色的情况来解决。注意，原来C是红色的，所以C的子节点一定是黑色的，所以旋转中C节点的一个子树挂到之后着为红色的D节点上不会破坏红黑性质。变形后黑高度不变。

  第四种情况：W的右子节点是红色（左子节点可以是红色或黑色）

  如上图，B节点可以是红色或是黑色。

  将B和D进行一次左旋，并交换两者的颜色。再将E着为黑色。这时，只要将X的一层黑色脱去，整个问题也得到了解决。递归结束。（在代码上，为了标识递归结束，我们把X指向根节点）

  因此，只要按上面四种情况一直递归处理下去，X最终总会指向根结点或一个红色结点，这时我们就可以结束递归并把问题解决了。

  以上就是红黑色的节点删除过程。

  以下的简单的代码实现：