题意：
题目就是给了一个凸多面题。
要把这个凸多面体放到地上，一个面要接触到地面。
求一种放法，使得最高点最高，最高点相同时使投影面积最小。输出最高点高度H和投影面积S。
先三维凸包一下求得所有的三角形表面。
然后枚举每一个表面，进行坐标变换，旋转使得这个表面变水平，然后投影求投影面积，算最高点高度。
题目的数据好像没有n==1 ,2,3的情况，可以忽略。
有个问题就是如果按照旋转之后的z坐标值来算高度的话，会产生很大的精度差。最好就是直接算点到面的距离。
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// 三维凸包+二维凸包+三维坐标旋转变换
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#include <iostream>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <algorithm>
#include <stdio.h>
#include <vector>
#include <map>
#include <set>
#include <queue>
using namespace std;
const int MAXN = 110;
const double eps=1e-8;
const double PI=acos(-1.0);
inline int sign(double p)
{
if(p>eps)return 1;
else if(p<-eps)return -1;
else return 0;
}
struct Point
{
double x,y,z;
Point(double xx=0,double yy=0,double zz=0):x(xx),y(yy),z(zz){}
Point operator +(const Point p1)
{
return Point(x+p1.x,y+p1.y,z+p1.z);
}
Point operator -(const Point p1)
{
return Point(x-p1.x,y-p1.y,z-p1.z);
}
Point operator *(const Point p1)
{
return Point(y*p1.z-z*p1.y,z*p1.x-x*p1.z,x*p1.y-y*p1.x);
}
Point operator *(double d)
{
return Point(d*x,d*y,d*z);
}
Point operator /(double d)
{
return Point(x/d,y/d,z/d);
}
double operator ^(const Point p1)
{
return x*p1.x+y*p1.y+z*p1.z;
}
double getLen()
{
return sqrt(x*x+y*y+z*z);
}
void read()
{
scanf("%lf%lf%lf",&x,&y,&z);
}
};
struct face
{
int a,b,c;
bool ok;
};
struct CH3D
{
int n;//初始顶点数
Point P[MAXN];//初始顶点
int num;//凸包表面的三角形个数
face F[8*MAXN];//凸包表面的三角形
int g[MAXN][MAXN];
double vlen(Point a)
{
return sqrt(a.x*a.x+a.y*a.y+a.z*a.z);
}
Point cross(Point a,Point b,Point c)
{
return Point(
(b.y-a.y)*(c.z-a.z)-(b.z-a.z)*(c.y-a.y),
(b.z-a.z)*(c.x-a.x)-(b.x-a.x)*(c.z-a.z),
(b.x-a.x)*(c.y-a.y)-(b.y-a.y)*(c.x-a.x)
);
}
//三角形面积*2
double area(Point a,Point b,Point c)
{
return vlen((b-a)*(c-a));
}
//四面体面积*6
double volume(Point a,Point b,Point c,Point d)
{
return ((b-a)*(c-a))^(d-a);
}
double dblcmp(Point &p,face &f)
{
Point m=P[f.b]-P[f.a];
Point n=P[f.c]-P[f.a];
Point t=p-P[f.a];
return (m*n)^t;
}
void deal(int p,int a,int b)
{
int f=g[a][b];
face add;
if(F[f].ok)
{
if(dblcmp(P[p],F[f])>eps)
dfs(p,f);
else
{
add.a=b;
add.b=a;
add.c=p;
add.ok=true;
g[p][b]=g[a][p]=g[b][a]=num;
F[num++]=add;
}
}
}
void dfs(int p,int now)
{
F[now].ok=false;
deal(p,F[now].b,F[now].a);
deal(p,F[now].c,F[now].b);
deal(p,F[now].a,F[now].c);
}
bool same(int s,int t)
{
Point &a=P[F[s].a];
Point &b=P[F[s].b];
Point &c=P[F[s].c];
return fabs(volume(a,b,c,P[F[t].a]))<eps &&
fabs(volume(a,b,c,P[F[t].b]))<eps &&
fabs(volume(a,b,c,P[F[t].c]))<eps;
}
void create()
{
int i,j,tmp;
face add;
num=0;
if(n<4)return;
bool flag=true;
for(i=1;i<n;i++)
{
if(vlen(P[0]-P[i])>eps)
{
swap(P[1],P[i]);
flag=false;
break;
}
}
if(flag)return;
flag=true;
for(i=2;i<n;i++)
{
if(vlen((P[0]-P[1])*(P[1]-P[i]))>eps)
{
swap(P[2],P[i]);
flag=false;
break;
}
}
if(flag)return;
flag=true;
for(i=3;i<n;i++)
{
if(fabs((P[0]-P[1])*(P[1]-P[2])^(P[0]-P[i]))>eps)
{
swap(P[3],P[i]);
flag=false;
break;
}
}
if(flag)return;
for(i=0;i<4;i++)
{
add.a=(i+1)%4;
add.b=(i+2)%4;
add.c=(i+3)%4;
add.ok=true;
if(dblcmp(P[i],add)>0)swap(add.b,add.c);
g[add.a][add.b]=g[add.b][add.c]=g[add.c][add.a]=num;
F[num++]=add;
}
for(i=4;i<n;i++)
{
for(j=0;j<num;j++)
{
if(F[j].ok && dblcmp(P[i],F[j])>eps)
{
dfs(i,j);
break;
}
}
}
tmp=num;
for(i=num=0;i<tmp;i++)
if(F[i].ok)
F[num++]=F[i];
}
double ptoface(Point p,int i)
{
return fabs(volume(P[F[i].a],P[F[i].b],P[F[i].c],p)/vlen((P[F[i].b]-P[F[i].a])*(P[F[i].c]-P[F[i].a])));
}
};
CH3D hull;
Point ps[MAXN];
int n;
inline Point get_point(Point st,Point ed,Point tp)
{
double t1=(tp-st)^(ed-st);
double t2=(ed-st)^(ed-st);
double t=t1/t2;
Point ans=st + ((ed-st)*t);
return ans;
}
inline double dist(Point st,Point ed)
{
return sqrt((ed-st)^(ed-st));
}
Point rotate(Point st,Point ed,Point tp,double A)
{
Point root=get_point(st,ed,tp);
Point e=(ed-st)/dist(ed,st);
Point r=tp-root;
Point vec=e*r;
Point ans=r*cos(A)+vec*sin(A)+root;
return ans;
}
struct point
{
double x,y;
};
point list[MAXN];
int stack[MAXN],top;
double cross(point p0,point p1,point p2)
{
return (p1.x-p0.x)*(p2.y-p0.y)-(p1.y-p0.y)*(p2.x-p0.x);
}
double dis(point p1,point p2)
{
return sqrt((p2.x-p1.x)*(p2.x-p1.x)+(p2.y-p1.y)*(p2.y-p1.y));
}
bool cmp(point p1,point p2)
{
double tmp=cross(list[0],p1,p2);
if(sign(tmp)>0)return true;
else if(sign(tmp)==0 && dis(list[0],p1)<dis(list[0],p2))return true;
else return false;
}
void init(int n)
{
point p0;
p0=list[0];
int k=0;
for(int i=1;i<n;i++)
{
if( (p0.y+eps > list[i].y) || ( sign(p0.y-list[i].y)==0 && (p0.x+eps > list[i].x)))
{
p0=list[i];
k=i;
}
}
list[k]=list[0];
list[0]=p0;
sort(list+1,list+n,cmp);
}
void graham(int n)
{
init(n);
if(n==1)
{
top=0;
stack[0]=0;
return;
}
if(n==2)
{
top=1;
stack[0]=0;
stack[1]=1;
return;
}
for(int i=0;i<=1;i++)stack[i]=i;
top=1;
for(int i=2;i<n;i++)
{
while(top>0 && cross(list[stack[top-1]],list[stack[top]],list[i])<=eps)
top--;
top++;
stack[top]=i;
}
}
bool input()
{
scanf("%d",&n);
if(n==0)return false;
hull.n=n;
for(int i=0;i<n;i++)
hull.P[i].read();
return true;
}
void solve()
{
double ansH=0,ansS=1e200;
double H,S;
if(n<=2)
{
printf("0.000 0.000\n");
return;
}
if(n==3)
{
ansH=0;
ansS=(hull.P[1]-hull.P[0])^(hull.P[2]-hull.P[0]);
ansS/=2.0;
printf("%.3lf %.3lf\n",ansH,ansS);
return;
}
hull.create();
for(int i=0;i< hull.num;i++)
{
for(int j=0;j<n;j++)ps[j]=hull.P[j];
Point p1=(ps[hull.F[i].b]-ps[hull.F[i].a])*(ps[hull.F[i].c]-ps[hull.F[i].a]);
Point e(0,0,1);
Point vec=p1*e;
double A=p1^e/p1.getLen();
A=acos(A);
if(sign(A)!=0 && sign(A-PI)!=0)
{
Point p0(0,0,0);
for(int j=0;j<n;j++)
ps[j]=rotate(p0,vec,ps[j],A);
}
double tt=ps[hull.F[i].a].z;
for(int j=0;j<n;j++)
ps[j].z -= tt;
H=0;
for(int j=0;j<n;j++)
{
H=max(H,hull.ptoface(hull.P[j],i));
}
for(int j=0;j<n;j++)
{
list[j].x=ps[j].x;
list[j].y=ps[j].y;
}
graham(n);
S=0;
for(int j=0;j<top;j++)
S+=(list[stack[j]].x*list[stack[j+1]].y - list[stack[j]].y*list[stack[j+1]].x);
S+=(list[stack[top]].x*list[stack[0]].y - list[stack[top]].y*list[stack[0]].x);
S=fabs(S);
S/=2;
if(H > ansH || ( sign(H-ansH)==0 && ansS > S ))
{
ansH=H;
ansS=S;
}
}
printf("%.3lf %.3lf\n",ansH,ansS);
}
int main()
{
while(input())solve();
return 0;
}