全排列的Hash算法
OI 2009-08-28 15:43:39 阅读69 评论0 字号：大中小 订阅
我们经常使用的数的进制为“常数进制”，即始终逢p进1。例如，p进制数K可表示为
K = a0*p^0 + a1*p^1 + a2*p^2 + ... + an*p^n （其中0 <= ai <= p-1），
它可以表示任何一个自然数。
对于这种常数进制表示法，以及各种进制之间的转换大家应该是很熟悉的了，但大家可能很少听说变进制数。这里我要介绍一种特殊的变进制数，它能够被用来实现 全排列的Hash函数，并且该Hash函数能够实现完美的防碰撞和空间利用（不会发生碰撞，且所有空间被完全使用，不多不少）。这种全排列Hash函数也 被称为全排列数化技术。下面，我们就来看看这种变进制数。
我们考查这样一种变进制数：第1位逢2进1，第2位逢3进1，……，第n位逢n+1进1。它的表示形式为
K = a1*1! + a2*2! + a3*3! + ... + an*n! （其中0 <= ai <= i），
也可以扩展为如下形式（因为按定义a0始终为0），以与p进制表示相对应：
K = a0*0! + a1*1! + a2*2! + a3*3! + ... + an*n! （其中0 <= ai <= i）。
（后面的变进制数均指这种变进制数，且采用前一种表示法）
先让我们来考查一下该变进制数的进位是否正确。假设变进制数K的第i位ai为i+1，需要进位，而ai*i!=(i+1)*i!=1*(i+1)!，即正确的向高位进1。这说明该变进制数能够正确进位，从而是一种合法的计数方式。
接下来我们考查n位变进制数K的性质：
（1）当所有位ai均为i时，此时K有最大值
MAX[K] = 1*1! + 2*2! + 3*3! + ... + n*n!
= 1! + 1*1! + 2*2! + 3*3! + ... + n*n! - 1
= (1+1)*1! + 2*2! + 3*3! + ... + n*n! - 1
= 2! + 2*2! + 3*3! + ... + n*n! - 1
= ...
= (n+1)!-1
因此，n位K进制数的最大值为(n+1)!-1。
（2）当所有位ai均为0时，此时K有最小值0。
因此，n位变进制数能够表示0到(n+1)!-1的范围内的所有自然数，共(n+1)!个。
在一些状态空间搜索算法中，我们需要快速判断某个状态是否已经出现，此时常常使用Hash函数来实现。其中，有一类特殊的状态空间，它们是由全排列产生 的，比如N数码问题。对于n个元素的全排列，共产生n!个不同的排列或状态。下面将讨论如何使用这里的变进制数来实现一个针对全排列的Hash函数。
从数的角度来看，全排列和变进制数都用到了阶乘。如果我们能够用0到n!-1这n!个连续的变进制数来表示n个元素的所有排列，那么就能够把全排列完全地 数化，建立起全排列和自然数之间一一对应的关系，也就实现了一个完美的Hash函数。那么，我们的想法能否实现呢？答案是肯定的，下面将进行讨论。
假设我们有b0,b1,b2,b3,...,bn共n+1个不同的元素，并假设各元素之间有一种次序关系 b0<b1<b2<...<bn。对它们进行全排列，共产生(n+1)!种不同的排列。对于产生的任一排列 c0,c1,c2,..,cn，其中第i个元素ci（1 <= i <= n）与它前面的i个元素构成的逆序对的个数为di（0 <= di <= i），那么我们得到一个逆序数序列d1,d2,...,dn（0 <= di <= i）。这不就是前面的n位变进制数的各个位么？于是，我们用n位变进制数M来表示该排列：
M = d1*1! + d2*2! + ... + dn*n!
因此，每个排列都可以按这种方式表示成一个n位变进制数。下面，我们来考查n位变进制数能否与n+1个元素的全排列建立起一一对应的关系。
由于n位变进制数能表示(n+1)!个不同的数，而n+1个元素的全排列刚好有(n+1)!个不同的排列，且每一个排列都已经能表示成一个n位变进制数。如果我们能够证明任意两个不同的排列产生两个不同的变进制数，那么我们就可以得出结论：
★ 定理1 n+1个元素的全排列的每一个排列对应着一个不同的n位变进制数。
/*补充： 什么是逆序数：
跟标准列相反序数的总和
比如说
标准列是1 2 3 4 5
那么 5 4 3 2 1 的逆序数算法：
看第二个，4之前有一个5，在标准列中5在4的后面，所以记1个
类似的，第三个 3 之前有 4 5 都是在标准列中3的后面，所以记2个
同样的，2 之前有3个，1之前有4个
将这些数加起来就是逆序数=1+2+3+4=10
再举一个 2 4 3 1 5
4 之前有0个
3 之前有1个
1 之前有3个
5 之前有0个
所以逆序数就是1+3=4
*/
对于全排列的任意两个不同的排列p0,p1,p2,...,pn（排列P）和q0,q1,q2,...,qn（排列Q），从后往前查找第一个不相同的元素，分别记为pi和qi（0 < i <= n）。
（1）如果qi > pi，那么,
如果在排列Q中qi之前的元素x