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1. 有100个真币和1个假币，只知道真币与假币不等重，要求只称两次，得出是真币重还是假币重。（天平有两种，一种是直接称重量，一种是无砝码天平）
解答：任取100个分成50 50.第一次称，若等重，则另一个是假币，第二次再称下就可以了。
若第一次称不等重，记下较重的一方。然后再平分两堆，再称，若等重。说明假币在另一堆，且较轻。若不等重，则假币较重。
2. 如何把一个正方形按面积5等份？
解答：每个顶点连接顺时针的第二条边的中点，得到四个直角形，和一间一个正方形，5部分面积相等。
3. 警察、爸爸儿子、妈妈女儿该如何过河？
一个警察、一个小偷、一个爸爸、一个妈妈、两个女儿、两个儿子，共八个人要过河，只有一条船。有几个条件必须满足：
1）船一次最多只能坐两个人
2）小偷必须和警察在一起，否则小偷会偷东西
3）爸爸必须和儿子在一起，否则妈妈会打儿子
4）妈妈必须和儿子在一起，否则爸爸会打女儿
5）只有警察、爸爸、妈妈会划船。
解答：不断尝试，不断回溯的方法就可以解答了。
警察和小偷过去，警察回来。
警察和儿子过去，警察和小偷回来。
爸爸和儿子过去，爸爸回来。
爸爸和妈妈过去，妈妈回来。
警察和小偷过去，爸爸回来。
爸爸和妈妈过去，妈妈回来。
妈妈和女儿过来，警察和小偷回来。
警察和女儿过去，警察回来。
警察和小偷过去。
4. n是一个奇数，求证n（n^2-1）能被24整除。
解答：n=2k+1，代入式子进行替换，结果为（2k-1）（2k）（2k+1），三个连续的数，肯定有是3的倍数，所有能被3整除。然后4k(k+1)肯定能被8整除。证毕。
5. （开关和灯泡问题）在房里有三盏灯，房外有三个开关，在房外看不见房内的情况，你只能进门一次，用什么方法来区分哪一开关控制哪一盏灯？
解答：这个问题可以理解成编码的问题。灯泡的状态作为编码空间，进屋的次数作为编码的位数。设三个开关是1、2、3.打开开关1等半小时，关上开关1，并打开开关2.开房后摸灯泡，热的是1，亮的是2，剩下的是3.
6. 妈妈有2000元，要分给她的2个孩子。由哥哥先提出分钱的方式，如果弟弟同意，那么就这么分。但如果弟弟不同意，妈妈会没收1000，由弟弟提出剩下1000的分配方式，这时如果哥哥同意了，就分掉这剩下的1000元。若哥哥也不同意，妈妈会没收1000元，然后每人给他们100元。如果，你是哥哥，你会提出什么样的分钱方式，使你有可能得到最多的钱？
解答：哥哥提出分配方案时，弟弟是否同意取决于拒绝后是否可以获得更多的利益。弟弟分配时，哥哥是否同意也取决于拒绝后是否可以获得更多好处。所以采取从后向前推导的方法。
如果两个分配中都不同意，则各获得100元。
弟弟分钱时，为保证哥哥能同意，会提出101元，弟弟899元。
哥哥分钱时，会提出899+1=900元，自己1100元的分配方式。
7. 一个小猴子边上有100根香蕉，它要走过50米才能到家，每次最多搬50根香蕉，每走1米要吃掉一根，请问它最多能把多少根香蕉搬到家里。
解答：小猴子可以采用如下策略：小猴子先搬50根，走到1米处，路上吃掉1根，放下48根后返回起始点，并在返回路上吃剩下的1根。然后将起始点处的50根香蕉搬到1米处，又在路上吃掉1根。这样总共消耗了3根香蕉，将所有香蕉向前搬动了1米。采用类似的策略搬动16米后，总共消耗了48根香蕉，还剩下52根香蕉。如果继续按照同样的策略向前移动到17米处，则剩下49根香蕉；如果直接在16米处丢掉2根香蕉，搬着50根香蕉向前走，在17米处也是有49根香蕉。所以猴子在17米处最多可以保留49根香蕉。继续搬到家还有33米，所以最后剩的香蕉数16根。
8. 在一个平面上画1999条直线，最多能将一个平面划分成多少个部分？
解答：没有直接时有1个空间
1条直线，1+1个空间
2条直线，1+1+2个空间
3条直线，1+1+2+3个空间
注意规律：1+1+2+3+...+1999=1999001
9. （疯子坐飞机问题）飞机上有100个座位，按顺序从1到100编号。有100个乘客，他们分别拿到了从1号到100号的座位，他们按号码顺序登机并应当对号入座，如果 他们发现对应号座位被别人坐了，他会在剩下空的座位随便挑一个坐。现在假如1号乘客疯了 (其他人没疯)，他会在100个座位中随机坐一个座位。那么第100人正确坐自己座位的概率是多少？ 注意登机是从1到100按顺序的。
解答：这种问题，必须从简单到复杂的考虑。先考虑只有两个座位的情况，则最后一个人（即第2个人）做自己座位的概率是50%。
然后考虑三个座位的情况，若1号做了自己的座位，则3号百分之百做自己座位。若1号做2号座位，情况同1，则3号有50%的概率做自己座位。若1号做了3号的座位，则3号百分之0概率做自己座位。计算得出，3号有50%坐自己的座位。
规律是：50%
10. 25匹马，一共5个跑道，试问至少比几次可以选出1,2,3名。
解答：至少7次。前5次分别每5匹比较。假设选出的每次比赛的1，2名，分别为：A1 A2；B1 B2；C1 C2；D1 D2；E1 E2。然后每组第一名比一次，假设名次为A-E，则最后一次比赛的马为：B1 B2 C1 A2 A3。
11. 有一个100层高的大厦，你手中有两个相同的玻璃围棋子。从这个大厦的某一层扔下围棋子就会碎，用你手中的两个玻璃围棋子，找出一个最优的策略，来得知那个临界层面。
解答：最简单的方法是：从第一层开始丢，这样最坏情况是99层。因为题目中告诉我们从某一层扔下围棋子就会碎，所以不是试100次。因为手上有两个围棋，为了发挥两个的作用，考虑分段的方法，一个围棋确定分段的区间，另一个围棋确定在这个区间内的具体层数。假设分段是均匀的，则第二步的步骤数是固定的，这样总的步骤数有第一阶段的最大数确定。这样投掷次数分布不均匀了。按最坏情况估计，这种方法做多了几次。为了使最坏情况的投掷数最小，我们希望无论临界区段在哪里，总的投掷数都不变，也就是说投掷数均匀分布。
既然第一阶段（确定临界段）的投掷数增加不可避免，我们就让第二部（确定临界层）的投掷数随着第一步的次数增加而减少，且是一次一次减少。假设第一次投掷的层数是f，转化为数学模型就是要求，f+f-1+...+2+1>=99，即f=14。
即第一次在14层投，然后不碎去27楼，不碎去39楼。。。
方法二：设x个鸡蛋扔y次可以测试F层，则F=f（x,y）.
f(1,1)=1，f(1,2)=2........f(1,n)=n
f(2,1)=1,对于f(2,2),先测试一次，如果第一个鸡蛋没有破,则测试该层之上的层数为f(2,1),如果第一个鸡蛋破了,则测试该层之下的层数为f(1,1). 所以f(2,n)=1+f(1,n-1)+f(2,n-1).
因此f(2,1)=1, f(2,2)=3, f(2,3)=6, f(2,4)=10, f(2,5)=15, f(2,6)=21
=>f(2,n)=n*(n+1)/2
=>n=14