本文是Gilbert Strang的线性代数导论课程笔记。课程地址：http://v.163.com/special/opencourse/daishu.html
第二十二课时：对角化和A的幂
Ax=λx,特征值、特征向量的应用以及为什么需要特征值和特征向量。
对角化 S-1AS=Λ
假设A有n个线性无关的特征向量（大前提），将他们按列组成矩阵S，S为特征向量矩阵，那么S-1AS为对角矩阵Λ，Λ为特征值矩阵。（如果不存在n个线性无关特征向量，S的逆不存在，矩阵就不能对角化）
AS相乘，由Ax1=λ1x1得到由λixi组成的矩阵列向量。然后，把λixi分离如下图（使用列线性组合的思想做矩阵乘法），分离后AS变成SΛ，Λ正好是特征值组成的对角矩阵。AS=SΛ。这以特征向量线性无关为前提，不去关心重复的特征向量（上讲提过：有一部分矩阵，不存在n个线性无关特征向量），n个特征向量线性无关，S就可逆。有AS=SΛ，则 S-1AS=Λ。因此，对于大部分矩阵，存在n个线性无关向量可以对角化，这就是对角化方法。
如果对 AS=SΛ 右乘S的逆，则有A=SΛS-1，这是新的矩阵分解。以前有消元法中的A=LU矩阵分解，和格拉姆-施密特正交化中的A=QR矩阵（见第17课时）
A的幂
问题: A=SΛS-1，Ax=λx，将A平方会怎样？
Ax=λx，那么A2x=λAx=λλx=λ2x，结论是A2的特征值是λ2，特征向量不变。
同样的，A2=SΛS-1SΛS-1=SΛ2S-1，同样说明特征值是先前的平方，特征向量不变。
同样的，Ak=SΛkS-1。
因此，特征值和特征向量提供了理解矩阵幂的一个好方法，如果将矩阵平方，或者取100次方，主元任意分布，A=LU搞不下去，但是A100=SΛ100S-1，特征值是计算矩阵幂的一种方法。
当A的所有特征值的绝对值小于1时，K趋向于无穷，矩阵的幂趋向于0，这样的矩阵称着稳定的矩阵。
矩阵何时可以对角化
矩阵A有n个线性无关的特征向量，矩阵A可以对角化，以上结论在所有的特征值λ不同（没有重复的特征值）时成立，因为每个特征值对应唯一的特征向量。比如matlab软件生成10×10的随机矩阵，那么肯定有10个互不相同的特征值，10个特征向量线性无关。
假设存在重复特征值，则可能但不一定存在n个线性无关特征向量。比如10×10的单位矩阵的10个特征值都是1，它有很多特征向量，可取10个线性无关的特征向量，I=SIS-1。如果矩阵A本来就是对角矩阵（对角矩阵的特征值就是对角矩阵对角线上的元素），那么对角化矩阵Λ与矩阵A相同。如果矩阵A是三角矩阵，如下，特征值是两个相同的2（计算特征值重复的次数，用代数重度，此重数，就是它作为多项式根的次数，即(2-λ)2=0的根），求特征向量，零空间仅仅是一维的x=(1
0)，因为不存在两个线性无关的特征向量，因此矩阵A是不可对角化的。
0)，因为不存在两个线性无关的特征向量，因此矩阵A是不可对角化的。
差分方程
如下问题：
差分方程，本节接触一阶差分方程，Uk+1=AUk只含有一阶差分，等式右侧由向量和矩阵所组成，称为一阶方程组。图中框起来的就是一阶方程组的解。
如何根据初始向量u0求解？
可以把u0看着n若干个A的特征向量的线性组合u0=Sc，n个特征向量是线性无关的，他们能线性组合出任何向量。如下图推理，求出Aku0后，uk的解就出来了。
斐波拉契数列
例子：斐波拉契数列：0,1,1,2,3,5,8,13...F100=?，数列增长速度有多快？
矩阵的特征值不都小于1，这样才能保持增长，增长速度有多块，由特征值来决定。根数列规律找出矩阵关系。
Fk+2=Fk+1+Fk，目前这只是代数方程，不是方程组，而且是二阶差分方程，就像含有二阶导数的微分方程。希望能够化简为一阶导数，也就是一阶差分，Uk+1=AUk的形式。
令uk等于如下向量（Fk+1, Fk），那么希望uk+1为（Fk+2, Fk+1），打算用2×2的方程组代替原来的二阶差分方程，追加一个方程，如下，两者联立构成的方程组，写成向量形式如下，把二阶标量方程转化为了一阶向量方程组。
可推出U100=A100 U0，接下来求A的特征值和特征向量，是一个对称阵。（对称阵的特征值肯定是实数，特征向量正交）
两个特征值互不相同，有一个大于1，矩阵A可以被对角化，F100的近似值是多少？数列的增长速度由特征值决定，由λ1起决定性作用，因此，F100≈c1*λ1100，为什么？数列与特征值之间的联系是什么？
图中多项式中第一项起着决定性作用，因为λ1>1，而第二项则随着k增大而趋近于0。
求出特征向量：
又有U0=(F1, F0)=(1, 0)，将U0用特征向量的线性组合表示出来，得到系数c1，c2，整个问题的答案就出来了。
解题思路：对于动态增长的一阶方程组，初始向量是u0，关键在于确定A的特征值和特征向量，特征值决定增长的趋势，发散只无穷还是收敛于0。接着需要找到一个展开式把u0展开成特征向量的线性组合，而且各个特征向量是独立的，然后就可以套用公式。