庞加莱猜想是法国数学家庞加莱提出的一个猜想，是克雷数学研究所悬赏的世界七大数学难题（七个千年大奖问题）之一。2006年被确认由俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼最终证明，但将解题方法公布到网上之后，佩雷尔曼便拒绝接受马德里国际数学联合会声望颇高的菲尔兹奖。庞加莱猜想是人类在三维空间研究角度解决的第一个难题，也是一个属于代数拓扑学中带有基本意义的命题，将有助于人类更好地研究三维空间，其带来的结果将会加深人们对流形性质的认识，对物理学和工程学都将产生深远的影响，甚至会对人们用数学语言描述宇宙空间产生影响。
庞加莱猜想图示
世纪难题
缘起
如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。
一位数学史家曾经如此形容1854年出生的亨利·庞加莱（Henri Poincare）:“有些人仿佛生下来就是为了证明天才的存在似的，每次看到亨利，我就会听见这个恼人的声音在我耳边响起。”庞加莱作为数学家的伟大，并不完全在于他解决了多少问题，而在于他曾经提出过许多具有开创意义、奠基性的大问题。庞加莱猜想，就是其中的一个。
1904年，庞加莱在一篇论文中提出了一个看似很简单的拓扑学的猜想：在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩到一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球。但1905年发现提法中有错误，并对之进行了修改，被推广为：“任何与n维球面同伦的n维封闭流形必定同胚于n维球面。”后来，这个猜想被推广至三维以上空间，被称为“高维庞加莱猜想”。
编辑本段猜想比喻
如果你认为这个说法太抽象的话，我们不妨做这样一个想象：
我们想象这样一个房子，这个空间是一个球。或者，想象一只巨大的足球，里面充满了气，我们钻到里
庞加莱猜想
面看，这就是一个球形的房子。
我们不妨假设这个球形的房子墙壁是用钢做的，非常结实，没有窗户没有门，我们现在在这样的球形房子里。拿一个气球来，带到这个球形的房子里。随便什么气球都可以（其实对这个气球是有要求的）。这个气球并不是瘪的，而是已经吹成某一个形状，什么形状都可以（对形状也有一定要求）。但是这个气球，我们还可以继续吹大它，而且假设气球的皮特别结实，肯定不会被吹破。还要假设，这个气球的皮是无限薄的。
好，现在我们继续吹大这个气球，一直吹。吹到最后会怎么样呢？庞加莱先生猜想，吹到最后，一定是气球表面和整个球形房子的墙壁表面紧紧地贴住，中间没有缝隙。
我们还可以换一种方法想想：如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点；
另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。
为什么？因为，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。
看起来这是不是很容易想清楚？但数学可不是“随便想想”就能证明一个猜想的，这需要严密的数学推理和逻辑推理。一个多世纪以来，无数的科学家为了证明它，绞尽脑汁甚至倾其一生还是无果而终。
证明之路
七个“千禧难题”
2000年5月24日，美国克莱数学研究所的科学顾问委员会把庞加莱猜想列为七个“千禧难题”（又称世界七大数学难题）之一，这七道问题被研究所认为是“重要的经典问题，经许多年仍未解决。”克雷数学研究所的董事会决定建立七百万美元的大奖基金，每个“千年大奖问题”的解决都可获得百万美元的奖励。另外六个“千年大奖问题”分别是： NP完全问题， 霍奇猜想（Hodge）， 黎曼假设（Riemann），杨－米尔斯理论（Yang-Mills），纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes，简称NS方程），BSD猜想（Birch and Swinnerton-Dyer）。
提出这个猜想后，庞加莱一度认为自己已经证明了它。但没过多久，证明中的错误就被暴露了出来。于是，拓扑学家们开始了证明它的努力。
早期的证明
20世纪30年代以前，庞加莱猜想的研究只有零星几项。但突然，英国数学家怀特海（Whitehead）对这
庞加莱猜想
个问题产生了浓厚兴趣。他一度声称自己完成了证明，但不久就撤回了论文，失之桑榆、收之东隅。但是在这个过程中，他发现了三维流形的一些有趣的特例，而这些特例，现在被统称为怀特海流形。
30年代到60年代之间，又有一些著名的数学家宣称自己解决了庞加莱猜想，著名的宾（R.Bing）、哈肯（Haken）、莫伊泽（Moise）和帕帕奇拉克普罗斯（Papa-kyriakopoulos）均在其中。
帕帕奇拉克普罗斯是1964年的维布伦奖得主，一名希腊数学家。因为他的名字超长超难念，大家都称呼他“帕帕”（Papa）。在1948年以前，帕帕一直与数学圈保持一定的距离，直到被普林斯顿大学邀请做客。帕帕以证明了著名的“迪恩引理”（Dehn's Lemma）而闻名于世，喜好舞文弄墨的数学家约翰·米尔诺（John Milnor）曾经为此写下一段打油诗：“无情无义的迪恩引理/每一个拓扑学家的天敌/直到帕帕奇拉克普罗斯/居然证明得毫不费力。”
然而，这位聪明的希腊拓扑学家，却最终倒在了庞加莱猜想的证明上。在普林斯顿大学流传着一个故事。直到1976年去世前，帕帕仍在试图证明庞加莱猜想，临终之时，他把一叠厚厚的手稿交给了一位数学家朋友，然而，只是翻了几页，那位数学家就发现了错误，但为了让帕帕安静地离去，最后选择了隐忍不言。
柳暗花明的突破
这一时期拓扑学家对庞加莱猜想的研究，虽然没能产生他们所期待的结果，但是，却因此发展出了低维拓扑学这门学科。
一次又一次尝试的失败，使得庞加莱猜想成为出了名难证的数学问题之一。然而，因为它是几何拓扑研
庞加莱猜想
究的基础，数学家们又不能将其撂在一旁。这时，事情出现了转机。
1966年菲尔茨奖得主斯梅尔（Smale），在60年代初想到了一个天才的主意：如果三维的庞加莱猜想难以解决，高维的会不会容易些呢？1960年到1961年，在里约热内卢的海滨，经常可以看到一个人，手持草稿纸和铅笔，对着大海思考。他，就是斯梅尔。1961年的夏天，在基辅的非线性振动会议上，斯梅尔公布了自己对庞加莱猜想的五维空间和五维以上的证明，立时引起轰动。
10多年之后的1983年，美国数学家福里德曼（Freedman）将证明又向前推动了一步。在唐纳森工作的基础上，他证出了四维空间中的庞加莱猜想，并因此获得菲尔茨奖。但是，再向前推进的工作，又停滞了。
拓扑学的方法研究三维庞加莱猜想没有进展，有人开始想到了其他的工具。瑟斯顿（Thruston）就是其中之一。他引入了几何结构的方法对三维流形进行切割，并因此获得了1983年的菲尔茨奖。
“就像费马大定理，当谷山志村猜想被证明后，尽管人们还看不到具体的前景，但所有的人心中都有数了。因为，一个可以解决问题的工具出现了。”清华大学数学系主任文志英说。
最后的决战
然而，庞加莱猜想，依然没有得到证明。人们在期待一个新的工具的出现。可是，解决庞加莱猜想的工具在哪里？
工具有了。
理查德·汉密尔顿，生于1943年，比丘成桐大6岁。虽然在开玩笑的时候，丘成桐会戏谑地称这位有30多年交情、喜欢冲浪、旅游和交女朋友的老友“Playboy”，但提起他的数学成就，却只有称赞和惺惺相惜。
1972年，丘成桐和李伟光合作，发展出了一套用非线性微分方程的方法研究几何结构的理论。丘成桐用这种方法证明了卡拉比猜想，并因此获得菲尔茨奖。1979年，在康奈尔大学的一个讨论班上，当时是斯坦福大学数学系教授的丘成桐见到了汉密尔顿。“那时候，汉密尔顿刚刚在做Ricci流，别人都不晓得，跟我说起。我觉得这个东西不太容易做。没想到，1980年，他就做出了第一个重要的结果。”丘成桐说，“于是我跟他讲，可以用这个结果来证明庞加莱猜想，以及三维空间的大问题。”
Ricci流是以意大利数学家里奇（Gregorio Ricci）命名的一个方程。用它可以完成一系列的拓扑手术，构造几何结构，把不规则的流形变成规则的流形，从而解决三维的庞加莱猜想。看到这个方程的重要性后，丘成桐立即让跟随自己的几个学生跟着汉密尔顿研究Ricci流。？
在使用Ricci流进行空间变换时，到后来，总会出现无法控制走向的点。这些点，叫做奇点。如何掌握它们的动向，是证明三维庞加莱猜想的关键。在借鉴了丘成桐和李伟光在非线性微分方程上的工作后，1993年，汉密尔顿发表了一篇关于理解奇点的重要论文。便在此时，丘成桐隐隐感觉到，解决庞加莱猜想的那一刻，就要到来了。
地球的另一端，一个叫格里戈里·佩雷尔曼的数学家在花了8年时间研究这个足有一个世纪的古老数学难题后，将3份关键论文的手稿在2002年11月和2003年7月之间，粘贴到一家专门刊登数学和物理论文的网站上，并用电邮通知了几位数学家。声称证明了几何化猜想。到2005年10月，数位专家宣布验证了该证明，一致的赞成意见几乎已经达成。
“如果有人对我解决这个问题的方法感兴趣，都在那儿呢—让他们去看吧。”佩雷尔曼博士说，“我已经发表了我所有的算法，我能提供给公众的就是这些了。”
佩雷尔曼的做法让克雷数学研究所大伤脑筋。因为按照这个研究所的规矩，宣称破解了猜想的人需在正规杂志上发表并得到专家的认可后，才能获得100万美元的奖金。显然，佩雷尔曼并不想把这100万美金补充到他那微薄的收入中去。
对于佩雷尔曼，人们知之甚少。这位伟大的数学天才，出生于1966年6月13日，他的天分使他很早就开始专攻高等数学和物理。16岁时，他以优异的成绩在1982年举行的国际数学奥林匹克竞赛中摘得金牌。此外，他还是一名天才的小提琴家，桌球打得也不错。
从圣彼得堡大学获得博士学位后，佩雷尔曼一直在俄罗斯科学院圣彼得堡斯捷克洛夫数学研究所工作。上个世纪80年代末期，他曾到美国多所大学做博士后研究。大约10年前，他回到斯捷克洛夫数学研究所，继续他的宇宙形状证明工作。
证明庞加莱猜想关键作用让佩雷尔曼很快曝光于公众视野，但他似乎并不喜欢与媒体打交道。据说，有记者想给他拍照，被他大声制止；而对像《自然》《科学》这样声名显赫杂志的采访，他也不屑一顾。
“我认为我所说的任何事情都不可能引起公众的一丝一毫的兴趣。”佩雷尔曼说，“我不愿意说是因为我很看重自己的隐私，或者说我就是想隐瞒我做的任何事情。这里没有顶级机密，我只不过认为公众对我没有兴趣。”他坚持自己不值得如此的关注，并表示对飞来的横财没有丝毫的兴趣。
2003年，在发表了他的研究成果后不久，这位颇有隐者风范的大胡子学者就从人们的视野中消失了。据说他和母亲、妹妹一起住在圣彼得堡市郊的一所小房子里，而且这个犹太人家庭很少对外开放。
朱熹平等人抢功而闹的笑话
2006年6月3日，中山大学的朱熹平教授和曹怀东以一篇长达300多页的论文，以专刊的方式刊载在美国出版的《亚洲数学期刊》六月号，其自称补全了佩雷尔曼证明中的漏洞，给出了庞加莱猜想的完全证明。
但实际上朱熹平和曹怀东没有任何新的贡献，他们仅仅是因为看不懂佩雷尔曼的证明，而自作聪明认为添补了什么新的东西，实际上佩雷尔曼的工作已经是完整的了。朱和曹的文章中说，他们不得不“用基于自己研究的新方法取代佩雷尔曼的几处关键步骤，因为我们不能理解他的本来的推理，而这些推理对几何化纲领的完成是要紧的。”
熟悉佩雷尔曼证明的数学家不同意朱和曹对于庞加莱猜想做出重要新贡献的说法。Morgan说：“佩雷尔曼已经做了证明，这个证明是完整和正确的。我看不出他们做了什么不同的事情。”
8月21日出版的《纽约客》杂志刊发了一则关于庞加莱猜想的长篇报道。报道的第一作者是美国哥伦比亚大学新闻系教授娜莎(Sylvia Nasar)，记者出身的她，曾经写过《美丽心灵——纳什传》一书。
在娜莎的笔下，丘成桐的心灵却似乎不是那么美丽。她通过一些数学家之口，将丘成桐描述为一个追名逐利之徒。纽约大学石溪分校数学系教授安德尔森(MichaelAnderson)说，“丘成桐想要做几何界的国王。他认为一切都应当出自于他。他不喜欢别人侵入他的领地”；麻省理工学院数学系教授斯德洛克(Dan Strook)说，“他做过辉煌的事情，也为此得到了辉煌的荣誉。他拿到了所有的奖。在这个问题上他好像也想捞—把，我感到这有点卑劣……”
在文章所配发的漫画中，丘成桐正试图从佩雷尔曼胸前摘走菲尔兹奖章。
至今仍是单身的佩雷尔曼，与母亲“隐居”在圣彼得堡家中，几乎不与外界接触。娜莎及其合作者在国际数学家大会召开之前远赴圣彼得堡，终于采访到了佩雷尔曼。当被问到是否读过曹和朱的论文时，佩雷尔曼回答说，“我不清楚他们作出了什么新贡献，显然，朱不是非常理解我的推理，然后重新进行了论证。”
最后朱熹平和曹怀东自己都承认他们没有任何新的贡献
12月3日，曹怀东和朱熹平在数学家们公布预印本的网站贴出一篇文章，题目是“庞加莱猜想与几何化猜想的汉密尔顿–佩雷尔曼证明”。两位作者在文章的引言中说：此文是对于他们在《亚洲数学杂志》2006年第10卷第2期上发表的文章的修订版。原来的文章的题目是“庞加莱与几何化猜想的完整证明—瑞奇流的汉密尔顿–佩雷尔曼理论之应用”；而且在原来的摘要中称他们（指曹-朱）“给出了庞加莱与几何化猜想的完整证明”，这句话在新版本中被删掉了。
两位作者特别指出：“我们改变了标题并对摘要作了修改是为了反映我们的观点，即证明庞加莱猜想的全部功劳属于汉密尔顿和佩雷尔。”
事实上，在这两位作者宣布他们对于庞加莱猜想的证明没有功劳之前，丘成桐教授已经在国外说过他们的工作没有原创性。也就是说丘成桐自己已经否定了他在6月初对中国媒体讲的话。我们认为丘教授有责任开诚布公地向中国人民宣布他现在的观点。
2006年，在佩雷尔曼公布他的3篇文章中的第一篇之后近4年，专家们终于达成了共识：佩雷尔曼解决了这个学科最令人肃然起敬的问题之一。但是猜想的解决却触发了一场充满争议和戏剧性的风波，几乎令这一辉煌的工作黯然失色。” 不言而喻，这场风波的发起人就是丘成桐教授，而其发源地不幸在中国。
作者Dana Mackenzie接着指出了佩雷尔曼的证明对拓扑学的重要意意，以及他发现的新的几何“技术”对于几何分析的重要价值。在接下来的一节“难以驾驭的空间”中，作者回顾了自庞加莱在1904年提出这个拓扑学最基本的问题之后，数学家们围绕这个问题所作的努力。其中特别提到了瑟斯顿的几何化猜想，以及汉密尔顿提出的用“瑞奇流”来解决瑟斯顿猜想的计划。在“突破”一节中，作者描述了佩雷尔曼用了7年时间完成的庞加莱猜想证明的突破性工作。指出在2003年佩雷尔曼到美国作演讲时，许多人对他的工作是怀疑的；直到2006年数学界才终于赶了上来，有三篇独立的文稿填补了他的工作中的一些关键细节。
这三篇文稿的作者分别为：密西根大学的Kleiner和Lott；Morgan（哥伦比亚大学）和田刚(MIT, 现在普林斯顿大学)；以及曹怀东（里海大学）和朱熹平（中山大学）。对于前两篇文稿，文章认为足以敲定庞加莱猜想；而对于第三篇文稿，作者则认为它是“不够谨慎的”，因为曹-朱宣称他们给出了庞加莱猜想和瑟斯顿几何化猜想的第一个写下来的完整证明。[注：目前数学界普遍认为瑟斯顿几何化猜想的完整证明尚未完成。]
文章的最后一节以“乐极生悲（Anticlimax）”为标题，在这一节中作者讲述了他一开始提到的使解决猜想的光辉蒙上阴影的“风波”。首先是国际数学家联盟主席在8月22日（国际数学家大会开幕的日子）宣布，佩雷尔曼拒绝领取菲尔兹奖。
总之， 朱熹平等人因为看不懂佩雷尔曼的论文，以及其他原因而声称自己是给庞加莱猜想封顶，这已经成为中国数学界在全世界面前丢脸的一桩大丑闻了
佩雷尔曼
“我拒绝”
国际数学家联盟主席John Ball曾秘密拜访佩雷尔曼，他的唯一目的是说服佩雷尔曼接受将在8月份国际数学家大会上颁发的菲尔兹奖。谁都知道这是数学界的最高荣誉，此前共有44位数学家获此殊荣，没有人拒绝过接受这个荣誉。然而面对Ball教授两天共十个小时的劝说，佩雷尔曼的回答只是“我拒绝。”他解释说：“如果我的证明是正确的，这种方式的承认是不必要的。”
佩雷尔曼于美国的访问生活
佩雷尔曼于1992年访问美国，他的生活极为俭朴，只吃面包，芝士和牛奶。在纽约大学他结识了年轻的中国数学家田刚，每星期他们一起开车去普林斯顿参加高等研究院的讨论班。佩雷尔曼读了哈密尔顿关于瑞奇流的文章，还在高等研究院听了他给的一个报告。佩雷尔曼说：“你不用是大数学家也可以看出这对几何化会有用。”
1993年佩雷尔曼开始在伯克莱进行为期两年的访问，适逢哈密尔顿来校作系列演讲。一次报告后，哈密尔顿告诉佩雷尔曼他所遇到的最大的一些障碍，其中之一是叫做“雪茄”的一类奇点。佩雷尔曼意识到，他写的一篇没有发表的文章可能对解决这个问题有用，问哈密尔顿是否知道这篇文章。但哈密尔顿似乎没有了解这篇文章的重要。
回到圣彼得堡
1994年，佩雷尔曼因写出了几篇非常有原创性的论文而被邀请在国际数学家大会作报告。好几家大学，包括斯坦福和普林斯顿，邀请他去申请职位。但是他拒绝了一些学校提供的职位，于1995年夏天回到圣彼得堡。他说：“我意识到我在俄国会工作得更好。”斯坦福的Eliashberg 说他回俄国是为了解决庞加莱猜想，佩雷尔曼对这种说法没有表示反对。
在俄国他独自工作，只通过英特网搜集他所需要的知识。Gromov,一位曾与佩雷尔曼合作过的著名几何学家说：“他不需要任何帮助，喜欢一个人工作。他使我想起牛顿，着迷于自己的想法，不去理睬别人的意见。”1995年，哈密尔顿发表了一篇文章，其中描述了他对于完成庞加莱猜想的证明的一些想法。哈密尔顿对我们说，从这篇文章中“我看不出他在1992年之后有任何进展。可能更早些时候他就被卡在哪儿了。”然而佩雷尔曼却认为自己看到了解决问题的道路。1996年，他给哈密尔顿写了一封长信，描述了他的想法，寄希望于哈密尔顿会同他合作。但是，佩雷尔曼说，“他没有回答。所以我决定自己干。”
第一篇证明文章
2002年11月11日，佩雷尔曼在网络数学文库arXiv*org上张贴了他的第一篇文章，之后他通过电子邮件把文章摘要发送给在美国的一些数学家，包括哈密尔顿，田刚和丘成桐。之前他没有同任何人讨论过这篇文章，因为“我不想同我不信任的人讨论我的工作。”对于随意地在网上发表如此重要的问题的解答可能带来的风险，例如证明或有纰漏而使他蒙羞，甚至被他人纠正而失去成果的优先权，佩雷尔曼表示：“如果我错了而有人利用我的工作给出正确的证明，我会很高兴。我从来没有想成为庞加莱猜想的唯一破解者。”田刚在MIT收到了佩雷尔曼的电子邮件，立即意识到其重要性。他开始阅读并同他的同事们讨论这篇文章。
11月19日，几何学家Kapovitch在电子邮件中询问佩雷尔曼：“我是否理解正确：你在哈密尔顿的纲要中已经可以做足够多的步骤使你能解决几何化猜想？”佩雷尔曼第二天的回答只有一句话：“这是正确的。”
在美国的报告会
田刚写信给佩雷尔曼邀请他到MIT作演讲。普林斯顿和石溪分校的同事们也发出类似邀请。佩雷尔曼全部接受了，并于2003年4月开始在美国做巡回演讲。数学家们和新闻界都把这看作一件大事。使他感到失望的是，哈密尔顿没有参加这些报告会。
佩雷尔曼告诉我们，“我是哈密尔顿的门徒，虽然还没有得到他的认可。”当哥伦比亚大学的John Morgan邀请他去演讲时他同意了，因为他希望在那里能见到哈密尔顿。演讲会在一个星期天早上举行，哈密尔顿迟到了，并且在会后的讨论和午餐中没有提任何问题。“我的印象是他只读了我的文章的第一部分。”佩雷尔曼说。
对证明的验证与说明
到2003年的7月，佩雷尔曼已经在网上公布了他的后两篇文章。数学家们开始对他的证明艰苦地进行检验和说明。在美国至少有两组专家承担了这一任务：田刚（丘成桐的对手）和Morgan；还有密西根大学的两位专家。克莱研究所对他们都给与资助，并计划把田和Morgan的工作以书的形式出版。这本书除了为数学家们提供佩雷尔曼的证明的逻辑外，还是佩雷尔曼能够获得克莱研究所一百万美元奖金的依据。
2004年9月10日，在佩雷尔曼回到圣彼得堡一年多后，他收到田刚发来的一封很长的电子邮件，田在其中写道：“我想我们已经理解了你的文章，它完全正确。”佩雷尔曼没有回信。他向我们解释，“人们需要时间去适应这个有名的问题不再是猜想这样一个事实。。。。。重要的是我不去影响这个过程。”
证明的正式发表与争议
2003年春天，丘成桐召集中山大学的朱熹平和他的一个学生，里海大学的曹怀东，承担解释佩雷尔曼的证明的工作。丘还安排朱在2005-06学年访问哈佛大学，在一个讨论班上讲解佩雷尔曼的证明并继续与曹一起写他们的文章。2006年4月13日，《亚洲数学杂志》编委会的31位数学家收到丘成桐和另一位共同主编的电子邮件，通知他们在3天内对丘打算在杂志上发表的朱熹平和曹怀东的一篇文章发表意见，题目是“瑞奇流的哈密尔顿-佩雷尔曼理论:庞加莱和几何化猜想”。电子邮件没有包含这篇文章，评审报告或者摘要。至少一位编委要求看这篇文章，却被告知无法得到。4月16日曹收到了丘的邮件告诉他文章已被接受，摘要已在杂志的网站公布。一个多月后，朱和曹的文章的题目在《亚洲数学杂志》的网页上被改成“庞加莱和几何化猜想的一个完整证明：瑞奇流的哈密尔顿-佩雷尔曼理论的应用”。摘要也被修改了，新加的一句话说，“这一证明应看作为瑞奇流的哈密尔顿-佩雷尔曼理论的最高成就”。
朱和曹的文章中说，他们不得不“用基于自己研究的新方法取代佩雷尔曼的几处关键步骤，因为我们不能理解他的本来的推理，而这些推理对几何化纲领的完成是要紧的。”熟悉佩雷尔曼证明的数学家不同意朱和曹对于庞加莱猜想做出重要新贡献的说法。Morgan说：“佩雷尔曼已经做了证明，这个证明是完整和正确的。我看不出他们做了什么不同的事情。”
“这就是为什么我要退出”
两位作者到达圣彼得堡后经历了一番曲折才见到佩雷尔曼。佩雷尔曼反复说他已经退出了数学界，不再认为自己是职业数学家了。他提到多年前他同一位合作者就如何评价某个作者的一项工作所发生的争执。他说他对于学界松懈的道德规范感到非常沮丧。“不是那些违背道德标准的人被看作异类，”他说，“而是象我这样的人被孤立起来。”当被问及他是否看过曹和朱的文章时，他回答“我不清楚他们做了什么新贡献。显然朱没有十分明白那些推理而又重新做了一遍。”至于丘成桐，佩雷尔曼说，“我不能说我被侵犯了。还有人做得比这更糟。当然，许多数学家多少是诚实的，可他们几乎都是和事佬。他们容忍那些不诚实的人。”获得菲尔兹奖的前景迫使他同他的职业彻底决裂。“只要我不出名，我还有选择的余地，”佩雷尔曼解释说，“或者做一些丑事，”-----对于数学界缺乏正义感大惊小怪-----“或者不这样做而被当作宠物。现在，我变得非常有名了，我不能再做宠物而不说话。这就是为什么我要退出。”当被问及，他拒绝了菲尔兹奖，退出了数学界，是否意味着他排除了影响数学界的任何可能性时，他生气地回答“我不是搞政治的。”佩雷尔曼不愿回答他是否也会拒绝克莱研究所的百万美元奖金的问题。“在颁发奖金之前我不作决定，”他说。Gromov说他能理解佩雷尔曼的逻辑。“你要做伟大的工作就必须有一颗纯洁的心。你只能想数学。其他一切都属于人类的弱点。”尽管人们会把他拒绝接受菲尔兹奖视为一种傲慢，Gromov说，他的原则值得钦佩。“理想的科学家除科学之外不关心其他的事情。他希望生活在那样理想的境界。虽然他做不到，但他希望那样。”
2010年7月，俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼拒绝了克莱数学研究所奖励他的100万美元，这笔奖金是奖励他对庞加莱猜想的证明。
其他难题
黎曼假设：很多人攻关，没看到希望
霍奇猜想：进展不大
杨-米尔理论：太难，几乎没人做
P与NP问题：由惠普实验室解决并给出了证明。
波奇和斯温纳顿—戴雅猜想：有希望破解
纳威厄—斯托克斯方程：离解决相差很远