1、牛顿法是方程求根的一个有力方法，常常能快速求出其他方法求不出或者难以求出的解。
假定有一个函数y=f（x），方程f(x)=0在 x = r 处有一个根，对于此根，我们先估计一个初始值 Xo（可以是猜测的）。我们现在来得到一个更好的估计值X1。为此趚=Xo处作该曲线的切线，并将其延长与 x 轴相交。切线与x轴的交点通常很接近 r ，我们用它作为下一个估计值X1，求出X1后，用X1代替Xo。重复上述过程，在x=X1处作曲线的另一条切线，并将其延长至与x轴相交，用切线的x轴截距作为下一个近似值X2……这样继续下去，所得出的这个x 轴截距的序列通常迅速接近根r.
现在再让我们从代数角度看上述过程，我们知道，在初始值Xo处，切线的斜率是f'(x)，切线方程为
注意：牛顿法也有不成功的时候，若ｆ（ｘ）无根，则，序列不收敛。另外，一些函
数图像可能形成随即序列，这就需要其他的辅助条件。
附注：f'(x)表示函数f(x)的导函数，f'(xo)则表示函数f(x)在x = xo处的导数
2、
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选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y = f(x)的切线l，l的方程为y = f(x0) f'(x0)(x-x0)，求出l与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f'(x0)，称x1为r的一次近似值。过点（x1,f(x1)）做曲线y = f(x)的切线，并求该切线与x轴的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，称x2为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式。 解非线性方程f(x)=0的牛顿法是把非线性方程线性化的一种近似方法。把f(x)在x0点附近展开成泰勒级数 f(x) = f(x0)+(x－x0)f'(x0)+(x－x0)^2*f''(x0)/2! +… 取其线性部分，作为非线性方程f(x) = 0的近似方程，即泰勒展开的前两项，则有f(x0)+f'(x0)(x－x0)=f(x)=0 设f'(x0)≠0则其解为x1=x0－f(x0)/f'(x0) 这样，得到牛顿法的一个迭代序列：x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))。 |