我国古代数学名著《孙子算经》中,记载这样一个问题: “今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何。”用现在的话来说就是:“有一批物品,3个3个地数余2个,5个5个地数余3个,7个7个地数余2个,问这批物品最少有多少个?”
这个问题的解题思路,被称为“孙子问题”、“鬼谷算”、“隔墙算”、“韩信点兵”等等.那么,这个问题怎呢?明朝数学家程大位把这一解法编成四句歌诀:
三人同行七十(70)稀,
五树梅花廿一(21)枝,
七子团圆正月半(15),
除百零五(105)便得知。
歌诀中每一句话都是一步解法:第一句指除以3的余数用70去乘;第二句指除以5的余数用21去乘;第三句指除以7的余数用15去乘;第四句指上面乘得的三个积相加的和如超过105,就减去105的倍数,就得到答案了。即:
70×2+21×3+15×2-105×2=23
《孙子算经》的“物不知数”题虽然开创了一次同余式研究的先河,但由于题目比较简单,甚至用试猜的方法也能求得,所以尚没有上升到一套完整的计算程序和理论的高度。真正从完整的计算程序和理论上解决这个问题的,是南宋时期的数学家秦九韶。秦九韶于公元1247年写成的《数书九章》一书中提出了一个数学方法“大衍求一术”,系统地论述了一次同余式组解法的基本原理和一般程序。
从《孙子算经》到秦九韶《数书九章》对一次同余式问题的研究成果,在19世纪中期开始受到西方数学界的重视。1852年,英国传教士伟烈亚力向欧洲介绍了《孙子算经》的“物不知数”题和秦九韶的“大衍求一术”;1876年,德国人马蒂生指出,中国的这一解法与西方19世纪高斯《算术探究》中关于一次同余式组的解法完全一致。从此,中国古代数学的这一创造逐渐受到世界学者的瞩目,并在西方数学史著作中正式被称为“中国剩余定理”。
“中国剩余定理”算理及其应用: 为什么这样解呢?因为70是5和7的公倍数,且除以3余1。21是3和7的公倍数,且除以5余1。15是3和5的公倍数,且除以7余1。(任何一个一次同余式组,只要根据这个规律求出那几个关键数字,那么这个一次同余式组就不难解出了。)把70、21、15这三个数分别乘以它们的余数,再把三个积加起来是233,符合题意,但不是最小,而105又是3、5、7的最小公倍数,去掉105的倍数,剩下的差就是最小的一个答案。 例1:一个数被3除余1,被4除余2,被5除余4,这个数最小是几? 例2:一个数被3除余2,被7除余4,被8除余5,这个数最小是几? 例3:一个数除以5余4,除以8余3,除以11余2,求满足条件的最小的自然数。 例4:有一个年级的同学,每9人一排多5人,每7人一排多1人,每5人一排多2人,问这个年级至少有多少人 ?(幸福123老师问的题目) |