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     1、计算π值

    问题描述

    设有一半径为r的圆及其外切四边形。向该正方形随机地投掷n个点。设落入圆内的点数为k。由于所投入的点在正方形上均匀分布，因而所投入的点落入圆内的概率为           。所以当n足够大时，k与n之比就逼近这一概率。从而。

    程序具体代码如下：

//随机化算法 用随机投点法计算π值
#include "stdafx.h"
#include "RandomNumber.h"
#include <iostream>
using namespace std;

double Darts(int n);

int main()
{
	int n1 = 100,n2 = 1000,n3 = 1000,n4 = 10000,n5 = 10000000;
	cout<<"n1="<<n1<<",π1="<<Darts(n1)<<endl;
	cout<<"n2="<<n2<<",π2="<<Darts(n2)<<endl;
	cout<<"n3="<<n3<<",π3="<<Darts(n3)<<endl;
	cout<<"n4="<<n4<<",π4="<<Darts(n4)<<endl;
	cout<<"n5="<<n5<<",π5="<<Darts(n5)<<endl;
	return 0;
}

//用随机投点法计算π值
double Darts(int n)
{
	static RandomNumber dart;
	int k = 0;

	for(int i=1; i<=n; i++)
	{
		double x = dart.fRandom();
		double y = dart.fRandom();
		if((x*x + y*y)<=1)
		{
			k++;
		}
	}

	return 4*k/double(n);
}

     程序运行结果如图：

    2、计算定积分

    例：设f(x)=x^2,求

    解：

    1)随机投点法计算定积分

     基本思想是在矩形区域上随机均匀的投点实现。本算法的基本思想是在积分区间上随机均匀的产生点,
即在[a,b]上随机均匀的取点, 求出由这些点产生的函数值的算术平均值, 再乘以区间宽度, 即可解出定积分得近似解。

    算法具体代码如下：

//随机化算法 用随机投点法计算定积分
#include "stdafx.h"
#include "RandomNumber.h"
#include <iostream>
using namespace std;

double Darts(int n,double a,double b);
double f(double x);

int main()
{
	int n1 = 100,n2 = 1000,n3 = 1000,n4 = 10000,n5 = 10000000;
	double a = 2.0,b = 3.0;
	cout<<"n1="<<n1<<",r1="<<Darts(n1,a,b)<<endl;
	cout<<"n2="<<n2<<",r2="<<Darts(n2,a,b)<<endl;
	cout<<"n3="<<n3<<",r3="<<Darts(n3,a,b)<<endl;
	cout<<"n4="<<n4<<",r4="<<Darts(n4,a,b)<<endl;
	cout<<"n5="<<n5<<",r5="<<Darts(n5,a,b)<<endl;
	return 0;
}

/*
 * 基本思想是在矩形区域内随机均匀投点，求出由这些点
 * 产生的函数值的算术平均值，再乘以区间宽度，即可得
 * 出定积分的近似解
 */
double Darts(int n,double a,double b)
{
	static RandomNumber dart;
	double sum = 0.0;
	for(int i=0; i<n; i++)
	{
		double x = (b-a)*dart.fRandom() + a;//产生[a,b)之间的随机数
		sum = sum + f(x);
	}
	return (b-a)*sum/n;
}

double f(double x)
{
	return x*x;
}

    程序运行结果如图：

    2)概率法法计算定积分

    设f:[a,b]→[c,d]连续函数(如图2 所示), 则由曲线y=f(x)以及x 轴和直线x=a,x=b 围成的面积由定积分给出。根据几何概型可知。假设向矩形区域随机均匀的投镖n
次, 落入阴影为K次, 又设M为x=a、x=b、y=c、y=d 所围成的矩形面积, s 为定积分面积,则, 所以s= k/n×M。

    算法具体代码 如下：

//随机化算法 用概率法计算定积分
#include "stdafx.h"
#include "RandomNumber.h"
#include <iostream>
using namespace std;

double Darts(int n,double a,double b,double d);
double f(double x);

int main()
{
	int n1 = 100,n2 = 1000,n3 = 1000,n4 = 10000,n5 = 10000000;
	double a = 2.0,b = 3.0;
	double d = f(b);
	cout<<"n1="<<n1<<",r1="<<Darts(n1,a,b,d)<<endl;
	cout<<"n2="<<n2<<",r2="<<Darts(n2,a,b,d)<<endl;
	cout<<"n3="<<n3<<",r3="<<Darts(n3,a,b,d)<<endl;
	cout<<"n4="<<n4<<",r4="<<Darts(n4,a,b,d)<<endl;
	cout<<"n5="<<n5<<",r5="<<Darts(n5,a,b,d)<<endl;
	return 0;
}

/*
 * f 为积分函数, n 为投镖
 * 总数, a,b 为积分区间, c,d 为函
 * 数f 的值域的端点值
 */
double Darts(int n,double a,double b,double d)
{
	static RandomNumber dart;
	int k = 0;
	for(int i=0; i<n; i++)
	{
		double x = (b-a)*dart.fRandom() + a;//产生[a,b)之间的随机数
		double y = d * dart.fRandom();

		if(y<=f(x))
		{
			k++;
		}
	}
	return d*(b-a)*k/n;
}

double f(double x)
{
	return x*x;
}

    程序运行结果如图：