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诺维科夫：数理逻辑

引 论

　
　　在近代数学中，所谓“公理化”方法已获得很大推广。应该说，罗巴切夫斯基非欧几何的发现就是公理化方法的起源。由于这一方法涉及许多其它概念，到了今天，它已有了巨大进化和演变，并受此诱发，产生出了许多新方法、新的数学分支和新的思维原则。

　　公理化方法发展的历史大体可以分为两个时期。第一个时期是从罗巴切夫斯基非欧几何的出现开始，到希尔伯特有关数学基础的著作的出现为止，而第二个时期则是接着第一个时期直到今天。在第二个时期中，这一概念的发展主要表现为来自几何学的思想，与和它平行发展着的人所共知的所谓“符号逻辑”或“数理逻辑”学说的结合。公理方法发展的结果就是诞生了一门以“数理逻辑”为命名的新学科。

　　在我们谈论数理逻辑这一主题之前，我们先来简短考察一下在它之前公理方法的状况。我们力图说明这一方法产生的原因以及它所企图解决的问题。

Hilbert之前的公理方法概念

　　公理方法的实质在于用特殊的方式来定义数学中各种对象以及对象与对象之间的关系。假如说，在讨论某个对象系统时，我们要使用表示这些对象的性质或相互关系的各种术语；这时我们既不去定义对象本身，也不去定义它们的性质和关系，而是陈述一系列的命题，这些命题凡是系统中的对象都应满足。可以看出，这些命题将把适合于自己的那些对象、性质和关系的系统从一切可能的系统中划分了出来。
　　 这样，所陈述的那一组命题就可作为被划分出来的各种对象、性质和关系的系统的定义。

　　我们来看一个简单的例子（这一例于我们今后常要提到）。设已给了某个对象系统，在对象与对象之间建立了由“…在…之前”这一术语所表达的一种二元关系。这时，我们既不去说明对象具体是什么，也不去规定 “…在…之前” 是哪一种关系，而只对它们陈述下面的两个命题：

　　1. 任何对象不在自己之前；

　　2. 如果对象×在y前，y在z前，则对象x在对象z前。

　　容易看出，确实存在一些对象系统它们具有这样的关系，当我们用 “x在y之前” 表示这一关系时，上述的命题1和命题2都能成为真命题。例如，设x,y表示人，而x,y之间的关系为 “x比y年龄大” ，那么以上二两个命题就为真，因为任何人不比自己年龄大；且如果x比y年龄大，y比z年龄大，则x比z年龄大。

　　我们也可以用实数作为对象，而用 “×小于y” 或 “×大于y” 来表示 “x在y之前”，这时命题1,2也都能成立。

　　具有使命题1,2成立的对象和关系的系统形成一个类，命题1,2就可作为这一类的系统的一个定义。上述这样的一组命题，藉助于它们我们可以区分出一些对象的集合来，就叫公理。如果某个对象集合以及它们的性质和关系使一组公理成为真实，就说这个对象集合“满足”这些公理组成的系统，而该对象集合是这一公理系统的一个“解释”（
interpretation ）。

　　当我们从公理出发作各种不同的逻辑推理后，就可得到各种各样的命题，它们对于满足公理系统的任何对象集合都能成立。

　　
　　 公理概念更为重要的例子是几何学公理。当我们研究几何对象时可将它们划分成“点”、“直线”、“平面”，并且对它们使用像“点在线上”、“线在面上”、“点A在点B与点C之间” 一类的术语。同时，当我们使用这些术语时，我们并不直接赋予它们以空间意义，而是对它们陈述一组公理。可以用不同的方式来实现这一点，但存在完全确定的一组公理，这就是著名的“欧几里德几何公理”。这一公理的系统提法是由希尔伯特作出的，这些公理表达出了在证明欧氏几何定理时明显或不明显地使用着的所有前提。因此，从这些公理导出的结论同样表示着欧几里得空间的那些性质，它们的直觉观念是从人类直接经验中取得的，并早已存在于人们的智慧中。

　　显然，公理和现实事物间的对应始终具有近似特征。例如，如果我们提问“现实空间是否满足欧氏几何公理?”，那么我们首先必须指出包含在公理系统中的各种几何术语，如“点”、“直线”、“平面”的物理规定性。换句话说，必须指出与这些名词对应的物理状态，这样做了以后，公理变成了可以接受经验检验的物理学命题。当我们实行了这样的检验后，我们能够保证所说命题在测量仪器能保证的精度范围内真实。

公理系统需要一致性和独立性

　　在讨论任何公理系统时，我们首先要考虑系统的无矛盾问题。即我们从公理出发作出各种推论时，我们应始终坚信不至于导出矛盾。也就是说，不应推出相互不一致的命题来。矛盾的现象表示，所讨论的公理系统不可能被任何客观的对象系统所满足，因此它不描写，因而也不能代表，任何一种事物。公理系统的无矛盾性问题，可以用“解释”的方法来解决，即为系统找到一个精确的解释，就表明系统无矛盾。必须指出，这就是希尔伯特以前的公理方法中证明系统无矛盾性的唯一的一种方法。

　　其次是考虑公理的独立性问题。公理系统中的某一条公理如果不能由其余的公理推演出来，就称这条公理在公理系统中是独立的。公理的独立性问题同样可用“解释”来解决。要证明某条公理是独立的，只需寻找出一个对象系统，它能满足公理系统中所有别的公理，而不满足这一条公理。换句话说，要证明公理是独立的，就是要寻找以下公理系统的一个解释：它是由原来的公理系统中把所考察的那条公理改为它的否定得到。

集合论与公理的解释

　　因此，为了利用公理系统，必须事先具备这样的一些对象、性质和关系的系统，它们可以用来作为公理系统的精确的解释。

　　对于公理系统的解释，我们可以从数学概念的范固内得到。集合论就是对各种公理系统进行解释的最有力的源泉。

　　我们这里不可能怎样详细地来叙述集合论，而仅仅是最一般地指出，集合论所拥有的是怎样的对象。

　　集合论的原始对象是自然数，而由自然数这一集合，应用集合论的抽象原则可以构造新的集合，构造函数。我们指出构造这些对象的某些基本原则。

　　1．如果已知某个对象集合，那么，藉助于精确刻划某些特征，就可从原始集合中分划出一个部份集合来。例如，我们可从全体自然数中划分出全体质数。

　　2．如果已给某些集合，那么可以把所有这些集合的元素合并在一起而构成一个新的集合。

　　3．对于每一个集合，可以用它的子集作为元素，构造各种集合。

　　4．设根据某一特征，集合E中的每一个元素都与集合G中的某个元素建立了对应，这样的一个对应叫函数。这时说，这个函数定义在集合E上，取值于集合G。函数也是对象，可以用来构造集合，特别，定义在E上而取值于G的所有函数构成一个集合。

　　上面列举的四条原则并没有穷举构造集合论对象的所有可能的手段。但为以下说明的需要，我们可以只限于这几种。借助于集合论原则，我们从作为初始对象的自然数出发，可以构造出所有现存的数学概念。这样，也就可得到各种公理系统所需的解释。

　　会产生这样的问题：对于公理方法来说，集合论是完全靠得住的基础吗?对于集合论本身的无矛盾性我们又可以置信到怎样的程度?

　　集合论这一门学科产生于十九世纪末，它发展很快，对数学起了巨大影响，尤其对数学基础有着特殊意义。但就在集合论开始出现时已引起人们的注意，即如果无限制地使用由它建立的概念，就会引出矛盾来。不过这一情况并没有阻挡住集合论的篷勃发展，因为在通常范围内使用这些概念实际并不会产生矛盾。但进一步分析集合论的基础始终未能找到令人满意的根据来确信即使是在实际使用的那些概念范围内一定不出现矛盾。 因此，人们不得不承认，不管集合论作为公理方法的解释有多么顺利，集合论本身建立的基础还是不能令人满意。当人们企图解决这一困难时，评论进一步转向集合论的一个本质特征上，或者说得更确切点，是关于一般的数学思维的一个特征，只是在集合论中展现得更明显。这就是关于无穷的概念。它无疑是数学思维的一个最基本的组成部分。在古典数学中，在涉及到无穷概念时是表现得颇为谨慎的。人们在相当程度上对此进行着逻辑分析。这一点在解释有名的“阿希里斯与乌龟”、“飞箭”、“无穷分锥”等问题时表现出来。这种谨慎表现在数学的论证中就是，当使用无穷时要求作出更多更严密的解释。然而近代的数学分析，当它还在萌芽期，由于自然科学和工程技术的需要，已开始转向考虑更为任意与更少限制的无穷概念，数学因此而获得了巨大和飞跃发展的可能性，并使它在最广阔的实践领域中产生了巨大影响。然而也因此引起了联系到无穷概念的各种困难，这些困难每次都引起人们对相关分析概念的评论。在当前，这一评论的方向已表现得十分完备，这就是克朗尼格、沙图诺夫斯基、鲍雷尔、鲁金与勃劳威尔等人的著作。作为抽象集合论概念基础的那个无穷被称之为“实无穷”。在对这一概念作精确说明之前，我们首先想用粗略的、逻辑上不完备的描写提出这一概念。我们把实无穷理解为这样的一种无穷集合：它的构造是已经完成的，它的元素已全部端出来了。举例说，如果我们想把全部自然数都列举出来，则就与实无穷发生了关系。显然，如果我们能够进行并且完成无穷多个离散的动作，那么也就不存在任何数学上的困难问题了，因为我们可以对任何问题检验所有可能情况。但是，要构造无穷多个个体组成的集合、要完成无穷多个动作的全体，不仅在实践上缺乏这样的手段，而且在原则上，在任何时候，用任何手段也是不可能实现的。实无穷概念之具有理想化特征是十分明显的。可是另一方面，数学思维却广泛地利用了这一理想化，例如，把几何中的线或面当作无穷个点的集合提出来，把一段时间当作无穷多个时刻的集合，把运动看成是物体的无穷多个位置的集合，等等。

　　突无穷概念的具体表现是把在有限范围内确立的某些逻辑原则推广到了无穷的情况。其中的一个原则就是人所共知的“排中律”。这一原则可以陈述如下：设A是一个命题，非A是它的反命题，则A与非A二者之中必育一者为真。我们现在设想A是一个谈论到无穷多个客体的命题，比如说，谈到了全体自然数。如果我们能够进行并且完成无穷多个检验动作，那么当然可以查明A与非A中哪一个命题正确。而且反过来，我们假设对任何事件A必可证明A与非A二者之中有一者为真，实际上等于肯定了无穷多个动作可以完成。但是在集合论中，或者是对“存在”应用于无穷作绝对理解时，都利用了这一点。对于集合沦来说，允许使用绝对“存在”是它的一个显著特征：并不需要指出或构造出某个对象，却能够证明这个对象的存在。这种证明往往就是利用了排中律。

　　我们来看一个这种证明的例子。我们构造一个非负正数的序列，序列的每一项是由π的十进制无穷展开式的第n位决定，如果π的十进制小数的第n位是0，则序列的第n项也是0，而第l，第2，…直到第一个0之前序列的各项都取1，在出现第一个0或连续几个0之后接下去相应于π展式的非0位，序列的各项都取2，直到第二个或第二串0，这时序列也取0，再接下去相应于π非0位，序列的项取值为3，等等。一般地，如果某个或某串0之前是k，则在这个或这串0之后为k+l。这样，我们，得到如下形式的一串序列：

1,1,…,1, 0, 2,2,…,2, 0,0, 3,3,…,3, 0, 4,4,…,4, 0, k,k,…,k, 0, k+1,……

　　现在我们来证明，存在这样的一个数，它在以上序列中重复了无穷次。事实上，在π的十进制无穷展开式中不是具有有限个零，就是具有无穷个零。在第一种情况下，序列也只有有限个零，那么在最后的那个零之后，序列的所有项都取同一个数，故此数在序列中重复了无穷次；而在第二种情况下，由于π的十进制展式中有无穷个零，所以序列相应地也有无穷个零，因此0就是重复了无穷次的那个数。这样就证明了我们的结论。但是，对于“这个数究竟是什么”的问题，我们无法回答，因为我们并不知道π的十进制展式中究竟包含了多少个0。我们在证明过程中完全看不出解决这一问题的途径。这样，我们见到了这样的一种证明，从证明对象存在的过程中我们得不到有关这个对象的任何指示。这一情况的所以会发生，显然是我们证明中应用了实无穷概念有关。如果我们考虑的是有限的结构，那么，某个对象的存在的证明总可以用实际检验各种可能情况来找出这个对象。

　　当我们讨论这样的例子时，可能一开始已发现实无穷概念是和我们的生活现实是不相符合的。的确如此，这正表明这一数学概念只是近似地反映了客观实际。因此，实无穷概念如同许多其它抽象概念一样，只能在一定的、合理的范围内使用。当然，我们以上所作的叙述并没有指出牵涉到无穷概念的全部困难。如果我们提问：实无穷概念是否一定引起矛盾，那么，我们目前还很难作出任何回答，也许只能说，这种矛盾到现在还看不出来。

　　 但甚至即使接受这样的假定：在集合论中使用实无穷概念不会导致矛盾，我们也无法完全消除集合论的困难。会出现另外的问题：我们是否可以借助集合论法则来解决全部数学问题？关于这一问题，我们很难相信会有肯定的结果。但要说明这一点需要有相应的工具。

　　所述问题可以试图用公理法解决。为此，必需找出可以推出集合论全部结果的那些前提，必须用公理的形式来表达它们，并且要解决所得公理系统的无矛盾性问题。在这一种情况下，一个数学问题的可解性问题就可归结成为一个独立性问题，因为证明已知问题在集合论中不可解，就表明以下事实确立：即有关这一问题的肯定断言和否定断言都不能从已知公理推出。我们在一定范围内描写集合论的公理系统是可能的，但解决这一系统的一致性和独立性问题恰遇到了实质性的困难。原因在于：在这里，解释方法已经不能再用，因为我们给任意公理系统作解释的这个集合论本身的无矛盾性只是一种假设。

有限体系下对公理系统的讨论

　　现在我们转到第二个任务，即在上述有限系统内，对任何公理系统提出无矛盾性和独立性问题。如果我们对公理继续保持旧的理解，即要在有限系统范围内替它们寻找解释，那么就会限制我们解决有关公理问题的可能性。因为有限系统对即使是最简单的公理系统作解释看来也是很弱的工具。希尔伯特提议用另一种观点来考察公理。他认为，公理是确定的命题，而任何命题不管其形式怎样总归是一些术语的组合，因此也就是一些相互间有某种联系的符号组合。当我们作逻辑推理时，我们也就是把一种形式的符号组合转换成另一种形式。我们提出这样的问题：我们能不能够把有限思维系统的概念中对命题所作的推理演算，用机械的形式写下来？说得更清楚一点就是：

　　 对于数学领域中所有使我们感兴趣的命题，不管真或假，我们是否能用位形（即字符串）的形式表示它们？而全部逻辑推理规则，以可构造的形式提出来？

　　如果这一点能办得到，那么所有的公理系统可以作为确定的位形集合提出来，而从公理系统导出的全部结论就组成位形的一个可构造类。对于命题及其逻辑推理的类似提法是完全可能的。

　　假设我们规定了用某个位形集合表示命题，在这些位形中标出一部分作为公理，又指出了某些可构造运算作为推理运算。这样得到的一个系统我们称之为“形式系统”、“形式逻辑体系”，或称为“演绎演算”或更简单地称“演算”。我们今后永远把“形式系统”和“演算”当作同义词来使用〔译注：对“演算”的理解其他书中并非都是这样的〕。形式系统中任何命题称作公式；代表逻辑推理的运算称为推理规则；从公式出发，应用推理规则而得到的新公式称为该形式系统中的可推出公式。可推出公式也常称为真公式。在形式系统中也需要规定某些特殊的位形，它们不能称为公式，但它们是公式的组成部分并参与了公式的定义。断言某位形是可推出公式的定理称为形式定理，而借助形式推理规则来实际构造某个可推出公式的过程称作形式推理。

　　无矛盾性问题是在这样的演算系统中提出的，在这种系统中已定义了“形式否定”的概念。所谓形式否定，就是指，对于系统中每一个公式，我们按照某种方法引进了与这一公式相对应的另一个公式，这一公式称为前一个公式的否定。我们称某个形式系统（演算）为矛盾的，如果在这个系统中存在互为否定的两个公式，它们都能从公理形式地推演出来。形式系统中某一条公理的独立性问题，就是要研究这一条公理是否能由其余公理组成的形式系统推出来？简单地说，就是问是否可以借助于这一系统的推理规则从其余的公理推出来？

　　在有限体系中对形式系统所作的讨论范畴称为元数学。我们必须把在证明有关演算的各种定理时所作的、具有含义的推理，和演算本身的形式推理严格地区别开来，后者是对于位形的运算且只能作为一种位形的运算。为了表达关于演算的各种概念而引进的不属于位形组成元素的各种符号常常称为元逻辑符号。对演算所作的讨论称为元逻辑讨论。

　　还要注意，我们在描述希尔伯特有限系统时曾经谈到的那些限制也不允许有丝毫马虎地推广到演算本身内部的概念上去。这些限制（例如，对使用排中律的限制）只是涉及描写形式系统和讨论形式系统时使用的工具。
　　我们现在来看一个演算的例子。

　　让我们首先含义地（也就是非形式地）描写一个命题系统，然后再进一步将它形式化。这些命题是关于数学的命题，这里的数可以是自然数，也可以是实数，也可以是复数，都无关紧要。我们用小写拉丁字母代表任意的数，并称这些字母为变量。我们将考虑数的加法和乘法以及数的相等关系，而且就是按照通常的形式来记这些运算和关系。我们给出一系列的初始等式，它们对于出现在其中的变量的一切值来说都是真的。

　　１．a = a
　　２．a + b = b + a
　　３．( a + b ) + c = a + ( b + c )
　　４．ab = ba
　　５．( ab ) c = a ( bc )
　　６．( a + b ) c = ac + bc

　　从这些等式出发，利用下列的两个规则，我们可以推导出别的等式：

　　 1． 真等式中的每一个变量允许在它们的出现处，处处代以任意变量组成的数表示。所谓“数表示”，就是指变量本身如a、c，或指代表运算结果的一些符号，如a+b、ba，等。

　　２．在任意的真公式中，任意的数表示可以用和它相等的数表示代替。

　　现在我们要把命题系统在形式系统中写出来。我们首先要定义与数表示以及等式相对应的位形。构成一切位形的基本元素是下列符号：

1. 小写拉丁字母a, b, … x, y,...
2. 括号（ 及 ）
3. 记号　=, +

与数表示相应的位形我们称为项，它们定义如下：

　　1．一个小写拉丁字母是项；

　　2．如果α和β是项，则（α+β），（αβ）也是项。

　　由这２个条件确定了位形的一个可构造类，这个类中的任何元素我们都称为项。在我们所引进的定义中，项的形式和通常书写的数的表示式略有不同，即在一切复杂的项的外面都加上了括号，例如

(a+b), ((a+b)c) 等等

　　为了简单，我们约定最外层的括号可以不写，将上述两式改写成

a+b, (a+b)c

等式定义为具有形式

α=β

的位形，这里α,β是任意的项。

　　在我们的形式系统中，等式就是公式。而项不是公式，因为项所对应的不是一个命题，而只是一个数。

　　我们现在来给出公理系统。我们就取前面一开始描写的1-6个公式作为我们这个形式系统的6条公理。我们把公理作为初始的真公式（可推出公式），借助于我们的形式系统中的推理规则（即，借助于某些可构造运算），就可以得到所有其余的可推出公式。
我们现在就来引进推理规则，共有二条：

　　1． 如果A(a)是一个包含字母a的等式，而β是任意的一个项，则A(β) － 它表示在A中，所有的a代之以β所得的结果
－ 仍是一个可推出等式。

　　这一规则就是我们前面考察过的代入运算R(A, a,β)，我们知道，这是一种可构造运算。

　　２． 如果A(α)是可推出公式，其中α是A中实际出现的项，又如果α=β也是可推出的等式，则把A(α)中的项α换成β所得到的结果A(β)也是可推出公式。

　　将等式中的一个项代以另一项的运算也是可构造的。这种运算的意义以及它的可构造类是完全明显的。

　　引用公理和推理规则我们就确定了可推出等式的可构造类。

　　我们对数的公理系统所作的陈述表明，我们可以撇开这些公理的含义，而只把它们看成是一些符号的并列，而逻辑规则只不过是对并列的运算。对于所得的形式系统，如果我们不把它比拟作一些外在的东西（在形式系统以外的东西），那么它就不过是一个由并列组成的系统的定义，这些并列也无所谓等式不等式。我们从这些并列中分出一部分称为可推出公式，这意谓（仅仅意谓）我们借助了某种运算从并列的集合中分出了它们。

　　对于这一形式系统我们无法提出无矛盾性问题，因为我们还没有在其中引进否定的概念。但是我们可以对它提出一种和无矛盾性问题非常类似的问题。我们称一个形式系统是“空”的，如果在其中一切等式皆可推出（这一概念和无矛盾性概念类似，就在于：包含一般逻辑规律的系统中，如果它是矛盾的，那么它的所有公式也都是可以推出的。这一点我们今后将会看到）。而我们的系统是非空的。非空性的证明非常简单。因为a=b
已经不会是这个系统的一个可推出公式了。事实上，如果并列a=b 是这个系统的一个可推出公式，那么，作为具有含义的数的表示关系a=b 将对任意的数a,b成立，而这显然是不对的。当然，这样的证明是非正式的，如果要严格证明形式系统的非空间题，我们必须在形式系统中引进数的概念。确切一点地说，这一证明的所以不充分是由于它利用了数系作为解释，因此证明的可靠性需要建筑在这一数系的无矛盾假设之上。

　　我们对本形式系统再提出一个问题：是否存在这一系统推不出来的等式，它们作为新公理加入形式系统的公理系统中，仍会得到一个非空系统？或者反过来说，在公理系统中，加入任何一个不可推出的公式，都会成为空系统吗？类似这样的问题我们今后常常会遇到。如果我们在由等式1-6组成的公理系统中加进不可推出的公式a=b，则系统变成空。事实上，根据代入规则，我们把a与b代之以任意的项，我们就证明了任何等式α=β都可以从系统得到。但是，如果我们在1-6中加入下面这一个不可推出公式：

ab + c = ( a + b )( b + c )

　　则我们仍可得到一个非空系统。这一公式的不可能从上述公理系统推出可以这样看出：它不是一个正确的数学等式。但是对于新的公理系统我们可以找到另一种解释：把变量a,b,c,…看成是集合（可以空），而表示式(α+β) 是由所有α的元素和所有β的元素组成的集合，或者说，就是集合的和，而(αβ)
则表示既属于α又属于β的那些元素组成的集合，也就是说，是集合的交。而等式α=β理解为集合α,β等同。这样，所有的公理，包括加进去的那条，都能满足，而推理规则也依旧只能推出真公式。但等式a = b 在这一形式系统中不是真公式，因为可以找到两个集合a, b不等。这样，新的系统也是非空的。

　　使用了解释方法之后，我们的新式系统的非空问题（是无矛盾性的类似问题）很容易地解决了。但现在我们还要作一个不牵涉到解释的证明，因为我们知道，解释方法是有它的局限性的。

　　我们考虑这个形式系统的第一条公理 a = a 的独立性问题。独立性问题是这样提出的：等式a = a 是否可以借助于推理规则从其余的５条公理中推出？可以还是不可以？如果发现它可以推出来，那么这一条公理从下面这种意义上来说它是多余的：删去它后形式系统的可推出公式集合保持不变。使用解释方法来证明这一公理的独立性同样是可能的，但已经是非常繁琐的工作了。利用别的方法来证明它的独立性可以非常简单。我们注意到，在所有其余公理中，由等号连接的项都包含两个或两个以上的元素，也就是说，这些项都不是单个元素的项。而对具有这样性质的等式应用我们的推理规则，那么所得到的也是具有这样性质的等式。事实上，当应用第一条推理规则时，我们把等式中的字母代之以一个项，因此只可能把原来的等式更加复杂化。当应用第二条推理规则时，我们把等式中的一个项替换成与它相等的另一个项，也不可能把原来的等式化成等号两边都只有一个字母的形式。这是因为，等式A(α)经过替换后，替换等式A(α)
中项α的那个项β已经出现在等式的一边，因此本身已包含着一个以上的元素。所以第一条公理
a = a 不可能从形式系统其余五条公理推出来。

　　我们所讨论的例子是一个非常弱的形式系统。但按照类似的方法可以构造各种更强的系统，它们可以包含归纳方法。我们知道，归纳法在数学的各个领域如算术、分析、函数论等，都是必不可少的工具。

　　希尔伯特最初的想法是企图把一切具有含义的数学知识归结到他的有限体系中去，而后把对应的数学分支当作不代表任何事物的一维的公式去讨论（如我们前面所指出的那样的公式），并且认为这些公式才是数学的唯一的对象。他设想，当我们一旦把数学基础问题用有限系统的概念陈述出来后，就可期望它们借助于有限系统的工具来获得解决。并且，在这样的方向上，同样也应该解决抽象集合使用的可能性问题。当我们在形式系统中表达了抽象集合，并再去探讨这些系统的无矛盾性时，我们就可以说明抽象集合概念的应用范围，或者，至少能够指示出这样的一个范围，在这一范围内能保证不会出现矛盾。而这样，我们也就知道，什么时候可以使用实无穷，什么时候不可以使用实无穷。

　　初看来，要完成希尔伯特这样的计划不会遇到障碍，但不久后就看出了这一计划本身的字面提法已经做不到。实际上，即使数学命题和所有的逻辑推理能借助于希尔伯特的形式系统提出，并且在这样的意义下形式系统可以包括所有的数学知识，但要解决即使是最基本的数学分支的无矛盾性问题希尔伯特的有限系统就已不够了。这是由于，任何形式系统，不管它有多么强，也不可能表达整个数学的概念和原理。问题出在这一点上：正如Gödel后来证明的那样，任何形式系统的无矛盾性问题不可能用同系统陈述的工具解决；形式系统的讨论工具如果能够在某个形式系统的范围内表达（例如我们第五章所描述的公理化算术）那么这一系统的无矛盾性要在该形式系统范围内进行证明是不可能的。

　　但是，没有任何理由假设，要排除数学思维一些可怀疑的部分必须接受由有限系统建筑起来的那种限制。为了解决使我们感兴趣的数学问题，我们可以越出有限系统的范围。在数学领域中，寻找一种对于解决这些问题来说是足够的工具是办得到的。当然，我们越出有限系统的范围，并不表示要取消希尔伯特的方法以及在把数学形式化过程中出现的一些方法的基本思想。事实上，有限系统这种工具虽然对于上述问题的解决是不充分的，但利用它们来提出这些问题却是完全够用的。

　　从上所述，我们似乎可以得出结论：我们要判定某个形式系统的无矛盾性只有考虑到系统所包含的内容才有可能。换句话说，无矛盾性问题的解决重新要求解释方法。但描述抽象集合理论的形式系统的含义，我们已经不只一次地说过，本身需要论证。但由于缺乏更好的办法来研究形式系统时，照样使用了集合论的解释。形式系统按照集合论的观点的讨论称为“含义”的讨论，不过这里指的含义是纯朴的含义。以这样的方法不可能给出数学基础问题的圆满解决。我们处于本质性的困难之前，但形式系统的含义并不一定要规定是抽象集合的。我们对集合论基础批判地作出修改就可以得到另一种非抽象集合的表示，这种表示能够表达形式系统的含义，但又避免了抽象集合概念中那些遭到人们怀疑的部分。

　　有根据相信，能借助含义解释解决无矛盾性的形式系统形成了一个相当广的集合，在这个集合中虽然不能包含所有的无矛盾系统，但任何形式系统的无矛盾性已可以借助于希尔伯特的有限方法归结成为该集合中的形式系统的无矛盾性。

结 论

　　我们所描写的新观念，它们是从数学基础问题中产生的，但在自己的发展中，已越过了自己的原有任务的范围（这样的事情是常有的），带来了原则上说来是新的概念和方法，这些新概念新方法甚至是在看来和数学基础问题不直接发生关系的一些领域得到了应用。例如，已应用于计算机的程序设计中、用于构造计算机或各种复杂自动机器的工程中。

【完】