第9章对合的度量性质

141.无穷远点的引入;对合的中心

如前一样，我们借助于引入无穷远点的办法，把对合的射影理论与度量性质连系起来。在一个直线点的对合中，对应于无穷远点的点称为对合的中心。因我们在§124中已证明，在对合中，对应的点关于二重点为调和共轭，故中心是二重点的中点。为了画出中心(图141-1)，我们和平常一样，通过A和A'任意作二条直线，并用平行于AA'的一条直线与它们交于点K和M。把后两个点与点B和B'相连，这样在AK和A'M上可确定L和N两点，而LN与AA'的交点就是对合的中心O。

图141-1 通过作AA’BB’的平行线KM找对合中心O

142. 基本度量定理

从上图我们看到三角形OLB'和PLM是相似的，P是KM和LN的交点。同样三角形KPN和BDN相似。因而我们有

OB׃ PK = ON׃PN 及 OB'׃PM = OL׃PL;

因此

OB∙OB'׃ P K∙PM = ON∙OL׃PN∙PL

类似地，从相似三角形OAL和PKL及OA'N和PMN，我们得

OA∙OA' ׃PK∙PM = ON∙OL׃PN∙PL，

根据这一公式与前一公式立即给下面的基本定理，这一定理有时也被用作对合的定义：

OA∙OA' = OB∙OB' = 常数，

如用文字来表达，就是：在点的一个对合中，从中心到对合的两个对应点的距离的乘积是一常量。

143. 二重点的存在

很明显，根据常数是正或负，对合将有或没有二重点。常数是中心到二重点的距离的方根。如果A与A'二者均在中心同一侧，类似于A－A'－O或O－A－A'的排列形式，则乘积OA∙OA'为正，可能出现二重点。如果它们在相反的两侧，类似于A-O-A'或A'-O-A的排列形式，则乘积为负，就不可能出现二重点。
现设A与A'位于中心的同一侧(不妨为左侧)。要弄清这时对合有没有二重点，还要看BB'的位置，
(1) B和B'也处于A与A'的同一侧。那么，根据OA∙OA'=OB∙OB'，就不可能发生B和B'被A和A'互相分隔开，例如

      若为  A－B－A'－B'－O,  则OA∙OA'>OB∙OB'
      若为  B'－A－B－A'－O,  则OA∙OA'<OB∙OB'

要使OA∙OA'=OB∙OB'，只可能有如下这样的排列形式：

A－B－B'－A'－O，
A－B'－B－A'－O，
B－A－A'－B'－O，
B'－A－A'－B－O。

这时A或B都可以有二重点，它们都属于B和B'不被A和A'互相分隔的情况。
(2) B和B'与A与A'在不同侧，如下列的排列形式

A－A'－Ｏ－B－B'

这时，B和B'没有被A和A'互相分隔开，B,B'与A,A'都有可能是二重点。
再设A,A'位于中心O相反两侧的情况，即

A－O－A'  (或 A'－O－A)

的排列形式，为了使OA∙OA'=OB∙OB'，B,B'也必须分别位于中心的相反两侧。为此，根据B和B'是否被A和A'互相分隔开，分为两种情况：
(1) B和B'被A和A'互相分隔开，也就是有

B－A－O－B'－A'  或  A－B－O－A'－B'

的形式，这时OA∙OA'可以=OB∙OB'，但AA'(或BB')均不重合，即A,B都不可能是二重合点。
(2) B和B'不与A和A'互相分隔开，也即类似于

B－A－O－A'－B'　或　A－B－O－B'－A'

的形式，这时OA∙OA'与OB∙OB'乘积当O为有穷时不可能相等，但当O为无穷远点时，上两式分别可以有二重点B或A。
综合以上讨论结果，我们可归纳陈述如下，其中已不牵涉到任何中心概念：
已知点的对合中的两对点，如果一对点被另一对点互相分隔开，则此对合没有二重点。如果一对点没有被另一对点互相分隔开，则此对合有两个重点。

144. 二重射线的存在

可以建立一个完全相似的判别准则用来确定射线的对合是否有，或者没有二重射线(double rays)，当然，也有类似的准则可用来确定平面的对合是否存在二重平面(double planes)。

145. 通过圆来构筑对合

前面推导的对合判别等式OA∙OA'=OB∙OB'＝常数，使我们可以用另一种简单方式来构作对合中的点。这就是利用圆来实现。在中学的平面几何中，有关圆有这样两个定理：
通过圆内一固定点作任意弦，则此弦被固定点分割成的两段的乘积是一恒定值，不依赖于弦的方向。见图145-1。
如果从圆外一固定点作圆一条割线，则割线和它的圆外一段的乘积也是恒定值，不依赖于所作割线的方向。见图145-2。

图145-1  PA∙PA’ = PB∙PB’=常          图145-2  PA∙PA’ = PB∙PB’=PT2  

这样，当直线上给定对应的两对点AA’和BB’时，我们通过A和A'任作一圆，通过B和B'也作一圆，使二圆相交于点G和G'(图145-3)。则所有通过G和G'的圆将与直线交于由AA'和BB'确定的对合中一对点。因为，如果这样的圆与直线交于CC'，我们就可得到关系式［译注：这里只用145-2的割线性质］：

OC∙OC’ = OG∙OG' = 常数。

因此对所有类似于C的点A，B，我们有

OA∙OA' = OB∙OB' = OC∙OC'。

进一步，直线GG'与AA'交于对合中心O。为了找出二重点(如果存在)，我们从O作任意通过GG'的圆的切线(图中未画出)，设T是切点。再在OA上覆盖一段长度等于OT的线段OF。这样，根据以上初等几何定理, OA∙OA'= OT2 = OF2，这样就有得到二重点F。另一个二重点F1就在O另一侧与F等距离的地方。
构作点的对合的这一简单有效方法经常被用作对合理论的依据。但在射影几何中，圆并非是一个射影不变的图形，它本质上是一个和度量性质有关的概念，所以不能利用它来构建作为纯射影理论的基础。

 
图145-3 通过画圆来寻找对合二重点F与F1

146. 圆点

应该提一提解析几何理论中对圆的定义：圆是一条特殊的二阶曲线，它通过了无穷远直线上的两个被称作圆点（circular point）的特殊虚构点，这两个虚构点通常用 I 和 J 标记。这样，上面介绍的求对合点的方法就成为§125的一般定理的一个特殊情况，该定理断言通过四点的圆锥曲线系统与平面上任意直线截割成一个对合点列。

147. 对合中的正交射线对．圆对合

在射线对合中，没有一条特殊的射线能与其他射线区别开来，不像点列对合那样，有一个无穷远点可与所有其他点区别开来那样。但在射线对合中，存在一对特殊的射线，即互相垂直的射线，它们与所有其他射线对性质不同。这最容易利用如上所示的构造圆的办法显示出来。所有通过G和G'的圆的中心位于GG'的垂直等分线上。设这条线与直线AA'交于C (图146-1)，并以C为圆心画一圆通过G和G'。此圆与对合直线交于M和M'二点。射线GM和GM'，因内接于半圆，相互垂直。因此，如果点的对合投射到G，我们找到了互为角的两条对应的射线。    
现在给出以G为中心的任意射线对合，我们用一条直线来横截它，以找出点M和M'。很明显，相符合的只有这样的一对，除非GG'的垂线等分线与直线AA'相同。在这种情况下每一射线都垂直角于它的对应射线，这样的对合称圆对合。

 
图146-1 GM和GM’为对合的正交线束

148. 圆锥线的轴

前一章最后一节（§140）我们证明了下面的定理：
圆锥曲线在其平面的每一点确定了一个射线对合，对应的射线关于圆锥曲线为共轭。如果其中存在二重射线，它们就是此点到圆锥曲线的切线。
特别，以圆锥曲线的中心作为该点，我们就找到由共轭直径形成了对合的射线系统，它的渐近线（如果存在）是二重射线。并且，共轭直径关于渐近线为调和共轭。由上节的定理，存在两条共轭直径它们互为直角。这两根线就称为轴。在抛物线情况下，它的中心在无穷远，因而，在曲线上，确切地说，不存在共轭直径。而无穷远直线可以看作对所有其他直径的共轭，我们不可能为它指定一个特殊方向，因此它不可能作为定义抛物线的轴使用。但这里有一条直径，它垂直于它的共轭弦系，这一直径称为抛物线的轴。圆也有例外，即每条直径都是轴。这种情况下的对合就叫圆对合（circular
involution），这时每条射线都与它位于中心的共轭射线构成直角。

149. 由一圆锥线确定的对合的点是圆点

确定除圆以外的任意一条圆锥曲线是否有可能如前面那样在定义对合的平面上找到一点是一个重要问题。我们下面就来讨论这个十分奇妙的问题，我们将证明这样的点存在，并确定它有多少，情况又怎样。然后再讨论这些点的重要性质。

150. 圆点的性质

首先，很明显，这样点不可能在圆锥曲线的外部出现，否则，对合将有二重射线，而这样的射线必须与它们本身相互垂直。
其次，如果存在两个这样的点，它们的连线必定是直径，且就是轴。因为，如果F和F'是这样的两点，则因F对FF'的共轭射线必须与它垂直，且同样，因F'对FF'的共轭射线也一定与它垂直，FF'的极点必须为无穷远点，而方向与FF'垂直。故FF'是一条直径，又因它与共轭直径垂直，它必须是轴。
由上也可得出，我们寻找的点必须全部位于两个轴的某一个上。否则我们将会有一条直径，它不通过所有轴的交点——圆锥曲线的中心。而这是不可能的。由此可知，至少有一个轴，它不通过所有这样的点。

151. 圆点的位置

设P是图151-1所示圆锥曲线的一个轴线上的点，通过P任意作一条射线q。当q绕P旋转时，q的极点Q沿与P所在轴线垂直的直线移动，描绘出一个与线束q射影对应的点列p。而q的垂线的无穷远点也描述出一个与q射影对应的点列。连接这两个点列对应点的直线一定是q的一条共轭射线，且与q垂直，我们因此可叫它为q的一条“共轭法线”。这些作为两个射影点列对应点连线的q的共轭法线形成了一个二阶的射线束。
因点列q上的无穷远点对 

   图151-1 确定圆点的位置

应到与q成直角的直线的无穷远点，这两个点列处于透视位置中，而所有直线的共轭法线通过P交于同一点。这个点与P位于同一轴线上，正如把q放在与P所在轴成直角处所见到那样。这一线束的中心可以称作P'，这样我们将P与P‘配成了对。
借助于P沿轴的移动，并使q平行于一固定的方向，我们就可看出，点列P和点列P'是射影相关的。这一对应也是一个重对应，如果从P'出发，我们也能得到点P。因此点列P和P'是对合的，并且，如果对合仅有一个二重点，我们就找到了我们寻找的点。因为很清楚，通过P的射线与通过P'的对应射线是共轭法线，并且，如果P与P'相重合，我们就得到了一个点，它的所有射线与其共轭形成直角。 我们现在来证明，在二轴之一上这样获得的对合必定有二重点。

152. 寻找圆锥曲线的焦点

我们知道在两个轴的另一个轴上没有我们所要寻找的点(§150)。因此，在这个轴上，点PP'不可能有二重点。现设PP'和RR'是这个轴上两个对应的点，我们知道，P和P'被R和R'相互分隔开 (§143)。我们以PP'为直径作一个圆，再以RR'为直径，作一个圆。这两个圆交于F和F'两点，因圆锥线的中心是对合PP'和RR'的中心，容易看出，F和F'位于圆锥曲线另一个轴上。且，射线FR和FR'是共轭法线，因RFR'内接在半圆中，且两条射线中，一条通过R，另一条通过R'，故PP',RR'的对合点列投射到F,F'两点成两个对合线束，它们对应的射线为圆锥的共轭法线。由此，我们我们可以得到以下结果：
平面上由圆锥曲线确定的对合有且仅有两点是圆点。这两个圆点位于圆锥曲线的一个轴上，它们与中心等距离，且在圆锥曲线的内部。这两个点就称为圆锥曲线的焦点。

 
图152-1 圆锥曲线的焦点F与F’的确定

153. 圆和抛物线

上述讨论仅适用于除圆之外的有心圆锥曲线。对于圆，两个焦点均与中心重合。而在抛物线的情况下，这一部分的研究揭示在一个轴上不可能存在两个焦点，因为我们只有一个轴。但我们也能看到，当P移动到无穷远时，使q一起趋向于无穷，q成为一条无穷远直线，这条无穷远直线对于抛物线来说就是一条切线。因此它的极点Q在无穷远处，同样点P'也成为无穷远点，因此P和P'一起重合在无穷远点，由此抛物线的一个焦点在无穷远。换一种说法就是：
在有限平面内，抛物线有且仅有一个焦点。

154. 圆锥线焦点性质

焦点在圆锥曲线的理论中呈现了很大的重要性，下面我们来进一步探讨几个定理。
在一圆锥曲线上作一切线t，并再在它的切点P处作法线n。这两条直线显然组成一对共轭法线,它们分别与包含焦点F和F'的轴的交点T和N就是以上考察的对合中的两个对应的点，且T和N关于焦点为是调和共轭(图154-1); 如将这四个点连到P，我们将得到四条调和线。但其中两条互相垂直，因此其余两条与它们所夹的角度相等(见第2章习题4)。所以有下列定理：
连接圆锥曲线上一点到其两个焦点的直线与该点切线具有相等的夹角。
从而我们可断定：从椭圆一个焦点处的光源发出的光线将反射到另一个焦点。

 

图154-1  PF,PN与切线PT有相等夹角

155. 抛物线的情况

在抛物线情况下，其中一个焦点必须考虑成是直径方向的无穷远点，因此，我们有(见图155-1) 下面的定理：
通过抛物线上一点P的直径(图中PF')和P与焦点F的连线PF(即P点的焦半径)与P点的切线构成大小相等的夹角。

图155-1  PF,PN与切线PT有相等夹角

156. 抛物面反射镜

上面最后的定理是构造抛物面反射器的理论依据。从焦点处发出的光线经过反射器表面的反射都向和反射器的轴平行的方向反射。

157. 准线．主轴．顶点

焦点关于圆锥曲线的极线称为准线(directrix)，包含焦点的轴称为主轴，而轴与曲线的交点叫曲线的顶点。准线与主轴垂直。在抛物线中，顶点与焦点的距离和它与准线的距离相等，这三点和主轴的无穷远点组成四调和点。

在椭圆中，顶点与焦点的距离比它与准线的距离要近。由于同样的原因，在双曲线中，顶点与焦点的距离比它与准线的距离要远。

158. 圆锥线的另一种定义

设P是准线上任意一个点，通过它作一直线与圆锥曲线交于A和B两点(见图158-1)。设A和B两点的切线交于T，并把焦点记为F。则TF和PF是共轭线，且因它们通过焦点，它们一定互相垂直。设TF与AB交于C。则P,A,C,B是四调和点。将这四点投影到准线，并使投影线均与TF保持平行，这样我们在准线上得到了同样的四调和点P,M,Q,N。现因TFP是直角，角MFQ与NFQ相等，同样，角AFC和BFC也相等。 所以三角MAF和NFB为相似，故有 FA:FM =
FB:BN。从A和B分别向准线作垂线AA'和BB'，这样就得到FA:AA'= FB:BB'。因而我们有以下经常被作为定义使用的圆锥曲线性质：

圆锥曲线上的点到其焦点和到准线的距离比e是一固定常数。
 
图158-1　 Ｆ为焦点，则FA:AA'= FB:BB'＝常数

159. 离心率

把上节中的点P取为圆锥曲线的顶点，我们就可发现：
　对于椭圆，上述的距离比e小于单位1;
　对于双曲线，上述的距离比e大于单位1；
　对于抛物线，上述的距离比e等于单位1。
这个距离比e就称为圆锥曲线的离心率(Eccentricity)。

160. 焦距之和与差

椭圆和双曲线有两个焦点和两条准线。自然，由于曲线对称，两个焦点的离心率应有相同大小的值。设从圆锥曲线一点到两个焦点的距离分别是r和r'，并设同一点到对应准线的距离是d和d' (图160-1)，我们有
r:d = r':d' = (r±r'):(d±d')。
在椭圆中，(d+d')是固定的，且等于两准线之间的距离。在双曲线中，这个距离是(d-d')。因此可得(图160-2)：
椭圆上任何点与焦点距离之和为常数；双曲线上任何点与焦点距离之差为常数。

     

图160-1 椭圆PF+PF’=常数                                    图160-2 双曲线PF-PD＝常数

第9章习题

１. 已知四条切线，试作出抛物线的轴。
２. 给定两条互相垂直的共轭射线，并设它们与没有焦点的轴分别相交于A和B两点。试证明，以A、B连线AB为直径的圆将通过圆锥曲线的焦点。
３. 已知圆锥曲线的轴的位置以及一条切线和它的切点，试作出圆锥曲线的焦点并确定轴的长度。
４. 已知抛物线在顶点处的切线和其他两条切线，寻找它的焦点。
５. 一个与两个已知圆相切的圆的中心的轨迹是一圆锥曲线，并以两个已知圆的中心作为它的焦点。
６. 已知一抛物线的轴和它的一条切线与切点，找出其焦点。
７. 证明与一已知直线和一已知圆相切的圆的中心的轨迹是两条抛物线。
８. 设F和F'是椭圆的焦点，P是其上的任何点。延长PF到G，使它与PF'的长度相等。 试找出G点的轨迹。
９. 如果一个圆上各点G折叠在一个点F，则折痕全部是一圆锥曲线的切线。如果F在圆内，圆锥曲线将是椭圆; 如果F是在圆外，则圆锥曲线将是双曲线。
10. 如果在上题中的点G取于一条直线，则轨迹是一抛物线。
11. 寻找9、10两题中，圆锥曲线的焦点和主轴的长度。
12. 使第10题中的直线和抛物线之间建立一个1-1对应。但在平面上，抛物线有四维的无穷，而直线只有仅二维的无穷，为了建立它们的对应，这个方法必须对抛物线有某所约束。试找出并解释这个约束。
13. 陈述并解释第9题的类似问题。
14. 上面最后面的四个习题都是以下变换的结果的研究：
* 点O是平面上的固定点。对任意点P都对应到与OP垂直且平分它的直线p。
* 在这对应中，当P沿一条直线移动时，p将发生什么？
* 对应于两线只有一交点的定理，这里应是怎样的定理？
* 对应于三角形内角之和为两直角，这里应是怎样的定理？