学步园

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1568

解题思路：

一遇到数学题就悲剧！！

我了个去啊！！！啥时候才能用公式瞬秒数学题啊。。。每次都被虐。。。

看了AC大神的题解才做出来，数据给到1亿，明显数组也没法存，用java也搞不定！原来就是卡递推的。。。

用到了斐波那契数列的通项公式。

先看对数的性质,loga(b^c)=c*loga(b),loga(b*c)=loga(b)+loga(c);
假设给出一个数10234432,那么log10(10234432)=log10(1.0234432*10^7)=log10(1.0234432)+7;

log10(1.0234432)就是log10(10234432)的小数部分.

log10(1.0234432)=0.010063744
10^0.010063744=1.023443198
那么要取几位就很明显了吧~
先取对数(对10取),然后得到结果的小数部分bit,pow(10.0,bit)以后如果答案还是<1000那么就一直乘10。
注意偶先处理了0~20项是为了方便处理~

这题要利用到数列的公式:an=(1/√5) * [((1+√5)/2)^n-((1-√5)/2)^n](n=1,2,3.....)

取完对数

log10(an)=-0.5*log10(5.0)+((double)n)*log(f)/log(10.0)+log10(1-((1-√5)/(1+√5))^n)其中f=(sqrt(5.0)+1.0)/2.0;
log10(1-((1-√5)/(1+√5))^n)->0
所以可以写成log10(an)=-0.5*log10(5.0)+((double)n)*log(f)/log(10.0);
最后取其小数部分。

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
int f[21] = {0, 1, 1};

int main()
{
	int n;
	for(int i = 2; i < 21; ++i)
		f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];
	while(scanf("%d", &n) != EOF)
	{
		if(n <= 20)
		{
			printf("%d\n", f[n]);
			continue;
		}
		else
		{
			double temp = -0.5 * log(5.0) / log(10.0) + ((double)n) * log((sqrt(5.0)+1.0)/2.0) / log(10.0);
			temp -= floor(temp);
			temp = pow(10.0, temp);
			while(temp < 1000)
				temp *= 10;
			printf("%d\n", (int)temp);
		}
	}
	return 0;
}