题目：
一个2×2的正方形，每次在其中随机取两点，这两点的距离小于√2的概率是多少？
分析：
从题目看两个点正方形中的分布应是平均分布。第一个点落入正方形中任意点的概率是F1＝1／S正，第二个点与第一个点是独立的，它落入正方形任意点的概率同第一点，既F2=1／S正。 第二点与第一点距离小于√2的概率F1,2＝以第一点为圆心，√2为半径的圆与正方形重合的部分的面积S重／S正。
总的概率为 F＝∫∫F1×F1,2 S正。
解法：
如图将正方形分成8个三角形，由于是全对称的，只考虑第一点落在彩色三角中的情况。
将这个三角再如图划分为5个部分，这样可以为每个部分的S重写出通式。
下面写出各部分S重n的表达式：
其中R=√2
以后的工作就是对以上各式在其积分域内积分。这个工作可以利用Matlab来完成。
用Matlab编写.M文件来完成以上工作，M文件如下：
clear all;
r=sqrt(2);
sum=0;
%定义符号变量
syms x y;
%定义各部分面积计算式
s(1)=2*x+1/2*(2-y)*sqrt(2-(2-y)^2)+1/2*y*sqrt(2-y^2)+pi-acos((2-y)/r)-acos(y/r);
s(2)=2*x+1/2*(2-y)*sqrt(2-(2-y)^2)+1/2*y*sqrt(2-y^2)+pi-acos((2-y)/r)-acos(y/r)-2*acos((2-x)/r)+(2-x)*sqrt(2-(2-x)^2);
s(3)=x*y+1/2*x*sqrt(2-x^2)+1/2*y*sqrt(2-y^2)+pi-acos((2-y)/r)-acos(y/r)+asin(x/r)-acos((2-y)/r)+(2-y)*sqrt(2-(2-y)^2);
s(4)=x*y+1/2*x*sqrt(2-x^2)+1/2*y*sqrt(2-y^2)+pi-acos((2-y)/r)-acos(y/r)+asin(x/r)-acos((2-y)/r)-2*acos((2-x)/r) ...
+(2-y)*sqrt(2-(2-y)^2)+(2-x)*sqrt(2-(2-x)^2);
s(5)=x*y+1/2*x*sqrt(2-x^2)+1/2*y*sqrt(2-y^2)+pi+asin(x/r)-acos(y/r);
%定义各部分积分域
area_y=[2-sqrt(2-x^2),1;
2-sqrt(2-x^2),1;
2-r,2-sqrt(2-x^2);
x,2-sqrt(2-x^2);
x,2-r];
area_x=[0,2-r;
2-r,1;
0,2-r;
2-r,1;
0,2-r];
%计算积分
for n=1:5
temp(n)=int(s(n),y);
fx(n)=subs(temp(n),y,area_y(n,2))-subs(temp(n),y,area_y(n,1));
end
for n=1:5
temp(n)=int(fx(n),x);
f(n)=subs(temp(n),x,area_x(n,2))-subs(temp(n),x,area_x(n,1));
sum=sum+f(n);
end
然而很不幸的是，运行时提示有误，经检查发现是第二轮积分有式子得不到解析解，所以必须另想办法。
经过分析，我发现第一轮积分后，将y值按各积分域的值代入，使式子复杂化，所以产生了无法得到解析解的情况，但是实际上有些因子比如1／2× y√（2－y^2）在不止一个区域里出现，而将几个相邻的积分域合并的话，可以简化积分后的结果。
将所有出现的因子和出现的域列表
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1
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2
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3
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4
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5
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2x
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Y
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Y
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1/2*(2-y)*sqrt(2-(2-y)^2)
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Y
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Y
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1/2*y*sqrt(2-y^2)
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Y
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Y
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Y
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Y
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Y
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pi
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Y
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Y
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Y
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Y
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Y
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-acos(y/r)
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Y
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Y
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Y
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Y
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Y
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-acos((2-y)/r)
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Y
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Y
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Y
|
Y
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-2*acos((2-x)/r)
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Y
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Y
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(2-x)*sqrt(2-(2-x)^2)
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Y
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Y
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x*y
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Y
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Y
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Y
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1/2*x*sqrt(2-x^2)
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Y
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Y
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Y
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asin(x/r)
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Y
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Y
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Y
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-acos((2-y)/r)
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Y
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Y
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(2-y)*sqrt(2-(2-y)^2)
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Y
|
Y
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积分结果
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2x
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-5/3+4/3*2^(1/2)
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1/2*(2-y)*sqrt(2-(2-y)^2)
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1/8
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1/2*y*sqrt(2-y^2)
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pi/16
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pi
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pi/2
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-acos(y/r)
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-1/4*pi+1/4
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-acos((2-y)/r)
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1/2*pi-7/4
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-2*acos((2-x)/r)
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-1/2*pi+3/2
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(2-x)*sqrt(2-(2-x)^2)
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-1/3+1/8*pi
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x*y
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23/12-4/3*2^(1/2)
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1/2*x*sqrt(2-x^2)
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-17/24-1/16*pi+2/3*2^(1/2)
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asin(x/r)
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0.04124498
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得不到解析解
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-acos((2-y)/r)
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-0.01347756
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得不到解析解
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(2-y)*sqrt(2-(2-y)^2)
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5/12-1/8*pi
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和＝
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1.50597463
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总概率＝和／2＝
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0.75298731
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精确值
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2/3√2+pi/4-1/4＋∫∫…dΩ
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为便于计算，写了两个M文件来进行积分，这两个文件分别是先积x方向和先积y方向。程序如下：
file name intxy：
fxy=int(f,x);
f1=subs(fxy,x,area_xy(2))-subs(fxy,x,area_xy(1));
f2=simple(f1);
fs=int(f2,y,area_xy(3),area_xy(4));
file name intyx:
fxy=int(f,y);
f1=subs(fxy,y,area_yx(2))-subs(fxy,y,area_yx(1));
f2=simple(f1);
fs=int(f2,x,area_yx(3),area_yx(4));
在实践过程中，发现有时在积分前用 simple 函数对被积函数化简是很重要的，否则会得不到正确解。
对于两个不能得到解析解的因子，只好采用数值积分的方法得到近似解了。所用的函数是trapz（x,y）。x是取值在积分域上的一个向量，所取得间隔是0.0001，y是因子注变量取x时得到的值向量。
也可以用quad(@fx,a,b)指令，fx是一个函数M文件。两个函数文件分别是：
function y=fx(x)
y=(sqrt(2-(2-x).^2)-x).*acos((2-x)./sqrt(2));
function y=fx1(x)
y=(2-(2-x.^2).^(1/2)-x).*asin(x./sqrt(2));
注：这个因子是已经对一个变量积分一次，将该变量积分域代入后得到一个一元函数。
通过模拟，证实了以上结果的正确。模拟程序是随机取了1G对（2^30）的点进行统计，得到的结果非常吻合。模拟程序如下：
clear all;
sum=[0,0];
tic
for n=1:1024
a=rand(2,1024*1024);
b=rand(2,1024*1024);
a=b-a;
b=a(1,:).*a(1,:)+a(2,:).*a(2,:);
bound=[0,1];
y=hist(b,bound);
sum=sum+y;
end
prob=sum./2^30
t=toc
2003-8-8 补充
今天使用Mathematica5.0软件计算用Matlab无法计算出的两个积分，发现可以算出。
第一个
＝2-2／2+Pi*3/8-Pi^2/32
第二个
＝(-48+12Pi+Pi^2)/32
这样，解析解就是(1/4 -4／2 / 3 + Pi) / 2
约等于0.7529872852