看了Matrix67大神的博客做的一个小结。也让我对矩阵有了一个全新的认识。
经典题目1 给定n个点,m个操作,构造O(m+n)的算法输出m个操作后各点的位置。操作有平移、缩放、翻转和旋转
这里的操作是对所有点同时进行的。其中翻转是以坐标轴为对称轴进行翻转(两种情况),旋转则以原点为中心。如果对每个点分别进行模拟,那么m个操作总共耗时O(mn)。利用矩阵乘法可以在O(m)的时间里把所有操作合并为一个矩阵,然后每个点与该矩阵相乘即可直接得出最终该点的位置,总共耗时O(m+n)。假设初始时某个点的坐标为x和y,下面5个矩阵可以分别对其进行平移、旋转、翻转和旋转操作。预先把所有m个操作所对应的矩阵全部乘起来,再乘以(x,y,1),即可一步得出最终点的位置。
这些就是矩阵的简单操作,所以记住就行了。
经典题目2 给定矩阵A,请快速计算出A^n(n个A相乘)的结果,输出的每个数都mod p。
由于矩阵乘法具有结合律,因此A^4 = A * A * A * A = (A*A) * (A*A) = A^2 * A^2。我们可以得到这样的结论:当n为偶数时,A^n = A^(n/2) * A^(n/2);当n为奇数时,A^n = A^(n/2) * A^(n/2) * A (其中n/2取整)。这就告诉我们,计算A^n也可以使用二分快速求幂的方法。例如,为了算出A^25的值,我们只需要递归地计算出A^12、A^6、A^3的值即可。根据这里的一些结果,我们可以在计算过程中不断取模,避免高精度运算。
此种题目包含于下题中,所以看下题例题。
经典题目3 POJ3233
题目大意:给定矩阵A,求A + A^2 + A^3 + ... + A^k的结果(两个矩阵相加就是对应位置分别相加)。输出的数据mod m。k<=10^9。这道题两次二分,相当经典。首先我们知道,A^i可以二分求出。然后我们需要对整个题目的数据规模k进行二分。比如,当k=6时,有:A + A^2 + A^3 + A^4 + A^5 + A^6 =(A + A^2 + A^3) + A^3*(A + A^2 + A^3)
应用这个式子后,规模k减小了一半。我们二分求出A^3后再递归地计算A + A^2 + A^3,即可得到原问题的答案。
附上:个人代码
#include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<cstring> #include<string> #include<cmath> #include<set> #include<vector> #include<stack> #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a)) #define FOR(a,b,i) for(i=a;i<=b;++i) #define For(a,b,i) for(i=a;i<b;++i) #define N 1000000007 using namespace std; inline void RD(int &ret) { char c; do { c=getchar(); } while(c<'0'||c>'9'); ret=c-'0'; while((c=getchar())>='0'&&c<='9') { ret=ret*10+(c-'0'); } } inline void OT(int a) { if(a>=10) { OT(a/10); } putchar(a%10+'0'); } __int64 m; int n; __int64 tx[33][33],ty[66][66],tz[66][66]; void mat(__int64 a[66][66],__int64 b[66][66])//矩阵乘 { __int64 d[66][66]; int i,j,l; mem(d,0); For(0,2*n,i) { For(0,2*n,j) { For(0,2*n,l) { d[i][j]=(d[i][j]+a[i][l]*b[l][j]%m)%m; } } } For(0,2*n,i) { For(0,2*n,j) { a[i][j]=d[i][j]; } } } void g(__int64 x)//矩阵快速幂,用的都是自己用的模板 { mem(ty,0); mem(tz,0); int i,j; For(0,n,i) { For(0,n,j) { tz[i+n][j+n]=ty[i][j+n]=tx[i][j]; } } For(0,2,j) { For(0,n,i) { tz[i+j*n][i]=1; } } while(x>0) { if(x%2==1) { mat(ty,tz); } mat(tz,tz); x/=2; } } int main() { __int64 k; int i,j; RD(n); scanf("%I64d%I64d",&k,&m); For(0,n,i) { For(0,n,j) { scanf("%I64d",&tx[i][j]); tx[i][j]%=m; } } g(k); For(0,n,i) { printf("%d",ty[i][0]); For(1,n,j) { printf(" %d",ty[i][j]); } printf("\n"); } return 0; }
经典题目4 VOJ1049
题目大意:顺次给出m个置换,反复使用这m个置换对初始序列进行操作,问k次置换后的序列。m<=10, k<2^31。
首先将这m个置换“合并”起来(算出这m个置换的乘积),然后接下来我们需要执行这个置换k/m次(取整,若有余数则剩下几步模拟即可)。注意任意一个置换都可以表示成矩阵的形式。置换k/m次就相当于在前面乘以k/m个这样的矩阵。我们可以二分计算出该矩阵的k/m次方,再乘以初始序列即可。做出来了别忙着高兴,得意之时就是你灭亡之日,别忘了最后可能还有几个置换需要模拟。
附上:本人代码
VOJ传送阵
#include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<cstring> #include<string> #include<cmath> #include<set> #include<vector> #include<stack> #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a)) #define FOR(a,b,i) for(i=a;i<=b;++i) #define For(a,b,i) for(i=a;i<b;++i) //#define N 1000000007 using namespace std; inline void RD(int &ret) { char c; do { c=getchar(); } while(c<'0'||c>'9'); ret=c-'0'; while((c=getchar())>='0'&&c<='9') { ret=ret*10+(c-'0'); } } inline void OT(int a) { if(a>=10) { OT(a/10); } putchar(a%10+'0'); } int n; int tx[101][101],ty[101][101],tz[101][101],tw[101][101]; void mat(int a[101][101],int b[101][101])//矩阵乘 { int d[101][101]; int i,j,l; mem(d,0); FOR(1,n,i) { FOR(1,n,j) { FOR(1,n,l) { d[i][j]+=a[i][l]*b[l][j]; } } } FOR(1,n,i) { FOR(1,n,j) { a[i][j]=d[i][j]; } } } void g(int x)//矩阵快速幂,用的都是自己用的模板 { mem(ty,0); int i,j; FOR(1,n,i) { ty[i][i]=1; } while(x>0) { if(x%2==1) { mat(ty,tz); } mat(tz,tz); x/=2; } } int main() { int m,k,i,j,l; while(scanf("%d%d%d",&n,&m,&k)!=EOF) { mem(tx,0); FOR(1,n,i) { tx[i][i]=1; } FOR(1,m,i) { FOR(1,n,j) { RD(tw[i][j]); } mem(tz,0); FOR(1,n,j) { tz[j][tw[i][j]]=1; } mat(tz,tx); FOR(1,n,l) { FOR(1,n,j) { tx[l][j]=tz[l][j]; } } } g(k/m); mem(tz,0); FOR(1,n,i) { tz[i][1]=i; } mat(ty,tz); FOR(1,k%m,i) { mem(tz,0); FOR(1,n,j) { tz[j][tw[i][j]]=1; } mat(tz,ty); FOR(1,n,l) { FOR(1,n,j) { ty[l][j]=tz[l][j]; } } } FOR(1,n,i) { printf("%d",ty[i][1]); if(i<n) { printf(" "); } } printf("\n"); } return 0; }
经典题目5 《算法艺术与信息学竞赛》207页(2.1代数方法和模型,[例题5]细菌,版次不同可能页码有偏差)
大家自己去看看吧,书上讲得很详细。解题方法和上一题类似,都是用矩阵来表示操作,然后二分求最终状态。这就是简单的矩阵操作和矩阵快速幂,我就不多写了,书上写得很详细。
经典题目6 给定n和p,求第n个Fibonacci数mod p的值,n不超过2^31
根据前面的一些思路,现在我们需要构造一个2 x 2的矩阵,使得它乘以(a,b)得到的结果是(b,a+b)。每多乘一次这个矩阵,这两个数就会多迭代一次。那么,我们把这个2 x 2的矩阵自乘n次,再乘以(0,1)就可以得到第n个Fibonacci数了。不用多想,这个2 x 2的矩阵很容易构造出来:
这类题题解很多,属于简单题就不多写了。
经典题目7 VOJ1067
我们可以用上面的方法二分求出任何一个线性递推式的第n项,其对应矩阵的构造方法为:在右上角的(n-1)*(n-1)的小矩阵中的主对角线上填1,矩阵第n行填对应的系数,其它地方都填0。
这题,有人说矩阵应该建反的,但我就是用Matrix67大神说的建图方法过的。。。
附上:本人代码
#include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<cstring> #include<string> #include<cmath> #include<set> #include<vector> #include<stack> #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a)) #define FOR(a,b,i) for(i=a;i<=b;++i) #define For(a,b,i) for(i=a;i<b;++i) #define N 7777777 using namespace std; inline void RD(int &ret) { char c; do { c=getchar(); } while(c<'0'||c>'9'); ret=c-'0'; while((c=getchar())>='0'&&c<='9') { ret=ret*10+(c-'0'); } } inline void OT(int a) { if(a>=10) { OT(a/10); } putchar(a%10+'0'); } int n,k; __int64 ty[11][11],tz[11][11],tw[11][11],f[11],s; void mat(__int64 a[11][11],__int64 b[11][11]) //矩阵乘 { __int64 d[11][11]; int i,j,l; mem(d,0); FOR(1,k,i) { FOR(1,k,j) { FOR(1,k,l) { d[i][j]=(d[i][j]+a[i][l]*b[l][j]%N)%N; } } } FOR(1,k,i) { FOR(1,k,j) { a[i][j]=d[i][j]; } } } void g(int x)//矩阵快速幂,用的都是自己用的模板 { int i,j; FOR(1,k,i) { FOR(1,k,j) { ty[i][j]=tz[i][j]; } } while(x>0) { if(x%2==1) { mat(ty,tz); } mat(tz,tz); x/=2; } } int main() { int i,j; RD(k); RD(n); mem(f,0); f[1]=1; FOR(2,k,i) { f[i]=1; FOR(1,i-1,j) { f[i]=f[i]+f[j]; } } if(k==1) { printf("1\n"); } else if(n<=k) { printf("%I64d\n",f[n]); } else { mem(tz,0); FOR(2,k,i) { tz[i][i-1]=1; } FOR(1,k,i) { tz[i][k]=1; } g(n-k-1); s=0; FOR(1,k,i) { s=(s+(f[i]%N)*(ty[i][k]%N))%N; } printf("%I64d\n",s); } return 0; }
经典题目8 给定一个有向图,问从A点恰好走k步(允许重复经过边)到达B点的方案数mod p的值
把给定的图转为邻接矩阵,即A(i,j)=1当且仅当存在一条边i->j。令C=A*A,那么C(i,j)=ΣA(i,k)*A(k,j),实际上就等于从点i到点j恰好经过2条边的路径数(枚举k为中转点)。类似地,C*A的第i行第j列就表示从i到j经过3条边的路径数。同理,如果要求经过k步的路径数,我们只需要二分求出A^k即可。
我感觉这类题确实不错,把矩阵和图论巧妙地结合在了一起,我之前做的POJ2888(传送阵)就是要用的这方面的知识,收获很大。
经典题目9 用1 x 2的多米诺骨牌填满M x N的矩形有多少种方案,M<=5,N<2^31,输出答案mod p的结果
我们以M=3为例进行讲解。假设我们把这个矩形横着放在电脑屏幕上,从右往左一列一列地进行填充。其中前n-2列已经填满了,第n-1列参差不齐。现在我们要做的事情是把第n-1列也填满,将状态转移到第n列上去。由于第n-1列的状态不一样(有8种不同的状态),因此我们需要分情况进行讨论。在图中,我把转移前8种不同的状态放在左边,转移后8种不同的状态放在右边,左边的某种状态可以转移到右边的某种状态就在它们之间连一根线。注意为了保证方案不重复,状态转移时我们不允许在第n-1列竖着放一个多米诺骨牌(例如左边第2种状态不能转移到右边第4种状态),否则这将与另一种转移前的状态重复。把这8种状态的转移关系画成一个有向图,那么问题就变成了这样:从状态111出发,恰好经过n步回到这个状态有多少种方案。比如,n=2时有3种方案,111->011->111、111->110->111和111->000->111,这与用多米诺骨牌覆盖3x2矩形的方案一一对应。这样这个题目就转化为了我们前面的例题8。
8和9能转化,而且Matrix67大神在blog里有写这题代码,我就不献丑了~
经典题目10 POJ2778
题目大意是,检测所有可能的n位DNA串有多少个DNA串中不含有指定的病毒片段。合法的DNA只能由ACTG四个字符构成。题目将给出10个以内的病毒片段,每个片段长度不超过10。数据规模n<=2 000 000 000。
下面的讲解中我们以ATC,AAA,GGC,CT这四个病毒片段为例,说明怎样像上面的题一样通过构图将问题转化为例题8。我们找出所有病毒片段的前缀,把n位DNA分为以下7类:以AT结尾、以AA结尾、以GG结尾、以?A结尾、以?G结尾、以?C结尾和以??结尾。其中问号表示“其它情况”,它可以是任一字母,只要这个字母不会让它所在的串成为某个病毒的前缀。显然,这些分类是全集的一个划分(交集为空,并集为全集)。现在,假如我们已经知道了长度为n-1的各类DNA中符合要求的DNA个数,我们需要求出长度为n时各类DNA的个数。我们可以根据各类型间的转移构造一个边上带权的有向图。例如,从AT不能转移到AA,从AT转移到??有4种方法(后面加任一字母),从?A转移到AA有1种方案(后面加个A),从?A转移到??有2种方案(后面加G或C),从GG到??有2种方案(后面加C将构成病毒片段,不合法,只能加A和T)等等。这个图的构造过程类似于用有限状态自动机做串匹配。然后,我们就把这个图转化成矩阵,让这个矩阵自乘n次即可。最后输出的是从??状态到所有其它状态的路径数总和。
这题不要看大神说得这么轻松,但对我这种不太明白AC自动机,只会敲模板的渣渣来说,写起来还是很有挑战性的。建议深刻理解题意。
附上:本人代码
#include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<cstring> #include<string> #include<cmath> #include<set> #include<vector> #include<stack> #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a)) #define FOR(a,b,i) for(i=a;i<=b;++i) #define For(a,b,i) for(i=a;i<b;++i) #define N 100000 using namespace std; inline void RD(int &ret) { char c; do { c=getchar(); } while(c<'0'||c>'9'); ret=c-'0'; while((c=getchar())>='0'&&c<='9') { ret=ret*10+(c-'0'); } } inline void OT(int a) { if(a>=10) { OT(a/10); } putchar(a%10+'0'); } int n,k; int trie[111][5],fail[111],top; int h[128]; void init() { mem(trie[0],0); top=1; h['A']=0; h['C']=1; h['T']=2; h['G']=3; } void maketrie(char *s)//建trie { int rt,nxt; for(rt=0; *s; rt=nxt,s++) { if(!(nxt=trie[rt][h[*s]])) { mem(trie[top],0); trie[rt][h[*s]]=nxt=top++; } } trie[rt][4]=1; } void makeacauto()//ac自动机模板 { int q[N],bg,ed,u,v,i; fail[0]=bg=ed=0; FOR(0,3,i) { if(v=trie[0][i]) { fail[q[ed++]=v]=0; } } while(bg<ed) { u=q[bg++]; FOR(0,3,i) { if(v=trie[u][i]) { q[ed++]=v; fail[v]=trie[fail[u]][i]; trie[v][4]|=trie[fail[v]][4]; } else { trie[u][i]|=trie[fail[u]][i]; } } } } __int64 ty[111][111],tz[111][111],tw[111][111],s; void mat(__int64 a[111][111],__int64 b[111][111]) //矩阵乘 { __int64 d[111][111]; int i,j,l; mem(d,0); For(0,top,i) { For(0,top,j) { For(0,top,l) { d[i][j]=(d[i][j]+a[i][l]*b[l][j])%N; } } } For(0,top,i) { For(0,top,j) { a[i][j]=d[i][j]; } } } void g(int x)//矩阵快速幂,用的都是自己用的模板 { int i,j; mem(ty,0); For(0,top,i) { ty[i][i]=1; } while(x>0) { if(x%2==1) { mat(ty,tw); } mat(tw,tw); x/=2; } } int main() { int i,j,m,n; char ss[11]; RD(m); RD(n); init(); while(m--) { scanf("%s",ss); maketrie(ss); } makeacauto(); mem(tw,0); For(0,top,i) { FOR(0,3,j) { if(trie[i][4]==0) { tw[i][trie[i][j]]++; } } } g(n); s=0; For(0,top,i) { if(trie[i][4]==0) { s+=ty[0][i]; } } printf("%I64d\n",s%N); return 0; }
以上内容均是个人的矩阵小结,感觉矩阵太神奇了,潜力无穷~~~