概念
最小二乘法多项式曲线拟合，根据给定的m个点,并不要求这条曲线精确地经过这些点，而是曲线y=f(x)的近似曲线y= φ(x)。
原理
[原理部分由个人根据互联网上的资料进行总结，希望对大家能有用]
给定数据点pi(xi,yi)，其中i=1,2,…,m。求近似曲线y= φ(x)。并且使得近似曲线与y=f(x)的偏差最小。近似曲线在点pi处的偏差δi= φ(xi)-y，i=1,2,...,m。
常见的曲线拟合方法:
1.使偏差绝对值之和最小
2.使偏差绝对值最大的最小
3.使偏差平方和最小
按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，并且采取二项式方程为拟合曲线的方法,称为最小二乘法。
推导过程：
1. 设拟合多项式为：
2. 各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和如下：
3. 为了求得符合条件的a值，对等式右边求ai偏导数，因而我们得到了：
.......
4. 将等式左边进行一下化简，然后应该可以得到下面的等式：
.......
5. 把这些等式表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵：
6. 将这个范德蒙得矩阵化简后可得到:
7. 也就是说X*A=Y，那么A = Invert(X ' * X) * X '
* Y (原文错误修正, Invert ()为逆矩阵 (X'*X)-1*X'*Y)，便得到了系数矩阵A，同时，我们也就得到了拟合曲线。
实现
运行前提:
- Python运行环境与编辑环境；
- Matplotlib.pyplot图形库，可用于快速绘制2D图表，与matlab中的plot命令类似，而且用法也基本相同。
代码:
01.# coding=utf-8
02.
03.'''''
04.作者:Jairus Chan
05.程序:多项式曲线拟合算法
06.'''
07.import matplotlib.pyplot as plt
08.import math
09.import numpy
10.import random
11.
12.fig = plt.figure()
13.ax = fig.add_subplot(111)
14.
15.#阶数为9阶
16.order=9
17.
18.#生成曲线上的各个点
19.x = numpy.arange(-1,1,0.02)
20.y = [((a*a-1)*(a*a-1)*(a*a-1)+0.5)*numpy.sin(a*2) for a in x]
21.#ax.plot(x,y,color='r',linestyle='-',marker='')
22.#,label="(a*a-1)*(a*a-1)*(a*a-1)+0.5"
23.
24.#生成的曲线上的各个点偏移一下，并放入到xa,ya中去
25.i=0
26.xa=[]
27.ya=[]
28.for xx in x:
29. yy=y[i]
30. d=float(random.randint(60,140))/100
31. #ax.plot([xx*d],[yy*d],color='m',linestyle='',marker='.')
32. i+=1
33. xa.append(xx*d)
34. ya.append(yy*d)
35.
36.'''''for i in range(0,5):
37. xx=float(random.randint(-100,100))/100
38. yy=float(random.randint(-60,60))/100
39. xa.append(xx)
40. ya.append(yy)'''
41.
42.ax.plot(xa,ya,color='m',linestyle='',marker='.')
43.
44.
45.#进行曲线拟合
46.matA=[]
47.for i in range(0,order+1):
48. matA1=[]
49. for j in range(0,order+1):
50. tx=0.0
51. for k in range(0,len(xa)):
52. dx=1.0
53. for l in range(0,j+i):
54. dx=dx*xa[k]
55. tx+=dx
56. matA1.append(tx)
57. matA.append(matA1)
58.
59.#print(len(xa))
60.#print(matA[0][0])
61.matA=numpy.array(matA)
62.
63.matB=[]
64.for i in range(0,order+1):
65. ty=0.0
66. for k in range(0,len(xa)):
67. dy=1.0
68. for l in range(0,i):
69. dy=dy*xa[k]
70. ty+=ya[k]*dy
71. matB.append(ty)
72.
73.matB=numpy.array(matB)
74.
75.matAA=numpy.linalg.solve(matA,matB)
76.
77.#画出拟合后的曲线
78.#print(matAA)
79.xxa= numpy.arange(-1,1.06,0.01)
80.yya=[]
81.for i in range(0,len(xxa)):
82. yy=0.0
83. for j in range(0,order+1):
84. dy=1.0
85. for k in range(0,j):
86. dy*=xxa[i]
87. dy*=matAA[j]
88. yy+=dy
89. yya.append(yy)
90.ax.plot(xxa,yya,color='g',linestyle='-',marker='')
91.
92.ax.legend()
93.plt.show()
