动态规划 求两个序列A,B中所有的最长公共子序列
第一部分、什么是动态规划算法
动态规划一般也只能应用于有最优子结构的问题。最优子结构的意思是局部最优解能决定全局最优解(对有些问题这个要求并不能完全满足，
故有时需要引入一定的近似)。简单地说，问题能够分解成子问题来解决。
动态规划算法分以下4个步骤：
1，描述最优解的结构
2，递归定义最优解的值
3，按自底向上的方式计算最优解的值 //此3步构成动态规划解的基础。
4，由计算出的结果构造一个最优解。 //此步如果只要求计算最优解的值时，可省略。
动态规划的两个最重要性质：最优子结构性质，和子问题重叠性质。
A， 最优子结构
如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，我们就称该问题具有最优子结构性质（即满足最优化原理）。意思就是，总问题包含很多个
子问题，而这些子问题的解也是最优的。
B，重叠子问题
子问题重叠性质是指在用递归算法自顶向下对问题进行求解时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题会被重复计算多次。动态规划算法
正是利用了这种子问题的重叠性质，对每一个子问题只计算一次，然后将其计算结果保存在一个表格中，当再次需要计算已经计算过的子问题时，
只是在表格中简单地查看一下结果，从而获得较高的效率。
第二部分 LCS问题
问题描述：
一个给定序列的子序列是在该序列中删去若干元素后得到的序列。确切地说，若给定序列X=<x1, x2,…, xm>，则另一序列Z=<z1, z2,…, zk>是X的子序列
是指存在一个严格递增的下标序列 <i1, i2,…, ik>，使得对于所有j=1,2,…,k 有Xij=Zj;例如，序列Z=<B,C,D,B>是序列X=<A,B,C,B,D,A,B>的子序列，相应
的递增下标序列为<2,3,5,7>。
给定两个序列X和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列。例如，若X=<A, B, C, B, D, A, B>和Y=<B, D, C, A, B, A>，
则序列<B, C, A>是X和Y的一个公共子序列，序列<B, C, B, A>也是X和Y的一个公共子序列。而且，后者是X和Y的一个最长公共子序列，因为X和Y没有长度大
于4的公共子序列。
最长公共子序列(LCS)问题：给定两个序列X=<x1, x2, …, xm>和Y=<y1, y2, … , yn>，要求找出X和Y的一个最长公共子序列。
问题分析：
最长公共子序列的结构
最长公共子序列的结构有如下表示：
设序列X=<x1, x2, …, xm>和Y=<y1, y2, …, yn>的一个最长公共子序列Z=<z1, z2, …, zk>，则：
1，若xm=yn，则zk=xm=yn且Zk-1是Xm-1和Yn-1的最长公共子序列；
2，若xm≠yn且zk≠xm ，则Z是Xm-1和Y的最长公共子序列；
3，若xm≠yn且zk≠yn ，则Z是X和Yn-1的最长公共子序列。
其中Xm-1=<x1, x2, …, xm-1>，Yn-1=<y1, y2, …, yn-1>，Zk-1=<z1, z2, …, zk-1>。
子问题的递归结构：
由最长公共子序列问题的最优子结构性质可知，要找出X=<x1, x2, …, xm>和Y=<y1, y2, …, yn>的最长公共子序列，可按以下方式递归地进行：
当xm=yn时，找出Xm-1和Yn-1的最长公共子序列，然后在其尾部加上xm(=yn)即可得X和Y的一个最长公共子序列。当xm≠yn时，必须解两个子
问题，即找出Xm-1和Y的一个最长公共子序列及X和Yn-1的一个最长公共子序列。这两个公共子序列中较长者即为X和Y的一个最长公共子序列。
由此递归结构容易看到最长公共子序列问题具有子问题重叠性质。例如，在计算X和Y的最长公共子序列时，可能要计算出X和Yn-1及Xm-1和Y的
最长公共子序列。而这两个子问题都包含一个公共子问题，即计算Xm-1和Yn-1的最长公共子序列。
我们来建立子问题的最优值的递归关系。用c[i,j]记录序列Xi和Yj的最长公共子序列的长度。其中Xi=<x1, x2, …, xi>，Yj=<y1, y2, …, yj>。当i=0或j=0时，
空序列是Xi和Yj的最长公共子序列，故c[i,j]=0。其他情况下，由定理可建立递归关系如下：
计算最优值：
直接利用上节节末的递归式，我们将很容易就能写出一个计算c[i,j]的递归算法，但其计算时间是随输入长度指数增长的。由于在所考虑的子问题空间中，
总共只有θ(m*n)个不同的子问题，因此，用动态规划算法自底向上地计算最优值能提高算法的效率。
计算最长公共子序列长度的动态规划算法Lcs(X,Y)以序列X=<x1, x2, …, xm>和Y=<y1, y2, …, yn>作为输入。输出两个数组c[0..m ,0..n]和b[1..m ,1..n]。
其中c[i,j]存储Xi与Yj的最长公共子序列的长度，b[i,j]记录指示c[i,j]的值是由哪一个子问题的解达到的，这在构造最长公共子序列时要用到。最后，X和Y的
最长公共子序列的长度记录于c[m,n]中。
好了，直接求解所有LCS，其中求解所有ＬＣＳ利用了回溯法，代码如下：
// 求两个序列A,B中所有的最长公共子序列
#include <stdio.h>
#include <string.h>
const int M = 100;
//记录序列X和Y的LCS的长度
int c[M][M];
//二维数组b记录搜索方向，1-对角线方向;2-向上;3-向左;4-向上或向左
int b[M][M];
//lcs 记录得到的LCS字符
char lcs[M];
// LCS最大长度
int nlcs = 0;
/*
功能:
自底向上进行递推计算c[i][j],并确定b中的搜索方向
若i=0 或j=0 则c[i][j]=0
若i,j>0且x[i] == y[j]则c[i][j]==C[i-1][j-1]+1;
若i,j>0且x[i] !=y[j]则c[i][j]=max{C[i-1][j],C[i][j-1])
输入:两个序列x和y
输出:二维数组b和c
*/
int Lcs(char *x, char *y)
{
int lenX = strlen(x)-1;
int lenY = strlen(y)-1;
int i,j;
for(i=0; i<=lenX; i++)
{
memset(c[i], 0, sizeof(int)*lenY);
}
for(i=1; i<=lenX; i++)//0单元未用,下标从1开始
for(j=1; j<=lenY; j++)
{
if(x[i] == y[j])
{
c[i][j] = c[i-1][j-1] +1;
b[i][j]=1;//对角线方向
}
else if(c[i-1][j] > c[i][j-1])
{
c[i][j] = c[i-1][j];
b[i][j] =2;//正上
}
else if(c[i-1][j] < c[i][j-1])
{
c[i][j] = c[i][j-1];
b[i][j] =3;//左
}
else //c[i-1][j] == c[i][j-1]
{
c[i][j] = c[i-1][j];
b[i][j] = 4;//左、上
}
}
return c[lenX][lenY];
}
/*
功能:回溯法递归输出所有的LCS
说明:
X:一个序列
curlen:记录当前LCS的长度
i,j:待搜索的下标，初始值为两个序列的长度
*/
void print_all(char *x,int curlen, int i, int j)
{
if(i<0 || j<0)
return ;
static int len =0;
//如果当前lcs的长度等于已知的LCS的长度则输出子序列
if(len == nlcs)
{
for(int k=nlcs-1; k>=0; k--)
printf("%c ", lcs[k]);
printf("\n");
}
else
{
if(b[i][j] ==1)
{
lcs[curlen] = x[i];
len++;//子序列长度加1
print_all(x,curlen+1,i-1,j-1);//沿对角线方向搜索
len--;//回溯
}
else if(b[i][j] ==2)
print_all(x,curlen,i-1, j);
else if(b[i][j] ==3)
print_all(x,curlen,i,j-1);
else//b[i][j] ==4 递归调用 沿上、左两个方向搜索
{
print_all(x,curlen,i,j-1);
print_all(x,curlen,i-1, j);
}
}
}
int main()
{
int i,j;
char x[100]={' '}, y[100]={' '};
while(1)
{
scanf("%s", x+1);//0单元未用,下标从1开始
scanf("%s", y+1);
int lx=strlen(x)-1, ly=strlen(y)-1;//0号下标未用
nlcs= Lcs(x,y);
printf("序列X和Y的所有子序列的LCS长度矩阵:\n");
for(i=0; i<=lx;i++)
{
for(j=0; j<=ly; j++)
printf("%d ", c[i][j]);
printf("\n");
}
printf("搜索方向标记矩阵,1-对角线方向;2-向上;3-向左;4-向上或向左:\n");
for(i=0; i<=lx;i++)
{
for(j=0; j<=ly; j++)
printf("%d ", b[i][j]);
printf("\n");
}
printf("最长公共子串长度为%d\n", nlcs);
printf("所有最长公共子串:\n");
print_all(x,0,lx,ly);
}
return 0;
}
输入：
ABCBDAB
BDCABA
运行结果：
在序列X={A，B，C，B，D，A，B}和 Y={B，D，C，A，B，A}上计算的表c (即第一个输出矩阵)和 算法导论上的相同，见下图：
从运行结果可以看出 输出了所有ＬＣＳ, 主要用表b记录搜索方向，然后利用回溯法．
程序结果分析：
由print_all函数可知，求出所有的LCS就是根据数组b[i][j]中的值，即搜索的方向信息来遍历所有可能的路径找到满足条件的元素集合。
函数LCS的时间复杂度是求解数组c和b的执行时间，是O(mn+m+n)。而函数print_all的时间复杂度取决于遍历的路径数。在最好的情况下，
即X序列和Y序列完全相等，m=n，数组b中的值都是1（沿对角线方向），所以时间复杂度是O(m)。而在最坏情况下，即X序列和Y序列不
存在公共子序列，数组b中的值都是4，就是要分别沿向上和向左的方向搜索，这是每处理一次X[i]和Y[j]，都必须沿着两个方向调用函数print_all，
当遇到i=0或j=0的情况开始返回，只有在搜索完所有的路径后算法才结束。
REF： 算法导论