假定我们有一组object n个O1,O2,...On，每个Object有m个特征，f1,f2,...fm 。我们已知的数据如下
1）我们知道每个object的特征取值
例如 f1(Obj1) = 0.5 f2(Obj1) = 0.2 ... fm(Obj1) = 0.1
2）我们知道每个Object的两两比较结果，Pij表示objecti > objectj 或者说前者好于后者
例如object 1 大于 object2 的概率 P12
这类监督学习，相当于绕了个弯子，并不是直接知道 F: Rm -> R ，而是只知道两两比较的结果
如果直接知道每个Object的优秀值，那么就是可以直接回归学习出函数F: Rm -> R
通常这种情况，采用交叉熵代价函数
也就是 令 oij = F(Obj1) - F(Obj2) 可以理解成logistic regression 的两组输出结果的差值
Cij = C(oij) = -Pij*log(Pij) - (1-Pij)*log(Pij)
其中Pij 是我们已知的标注结果，也就是监督结果，Pij 是F函数输出的差值oj，经过sigmoid函数转化后的结果 Pij= exp(oij) / 1+ exp(oij) (sigmoid函数)
简化后，得到
Cij = -Pij*oij + log(1+exp(oij))
优化的目标也就是让所有的Cij尽可能的小。也就是学习出的函数F，能够满足大部分我们已知的（2），即两两比较的结果。
这种代价函数Cij的好处
1）在Pij = 1 ，即人工标注强烈要求i〉j的情况下， oij越大，则Cij越小，oij越小，Cij越大
2）在Pij = 0 ，即人工标注认为ii和j差不多， oij越大，则Cij越大，oij越小，Cijj越大
2）在Pij = -1 ，即人工标注认为ii<j， oij越大，则Cij越大，oij越小，Cijj越小
符合直观，如下图
