Game of Connections（卡特兰数）
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难度：3
链接：链接--NYOJ164，链接--HDU1134，链接--POJ2084
描述
This is a small but ancient game. You are supposed to write down the numbers 1, 2, 3, . . . , 2n - 1, 2n consecutively in clockwise order on the ground to form a circle, and then, to draw some straight line segments to connect them into number pairs. Every number must be connected to exactly one another.
And, no two segments are allowed to intersect.
It's still a simple game, isn't it? But after you've written down the 2n numbers, can you tell me in how many different ways can you connect the numbers into pairs? Life is harder, right?
输入
Each line of the input file will be a single positive number n, except the last line, which is a number -1.
You may assume that 1 <= n <= 100.
输出
For each n, print in a single line the number of ways to connect the 2n numbers into pairs
样例输入
2
3
-1
样例输出
2
5 既然涉及到卡特兰数，这里稍微给出一些介绍：1：起源： 卡特兰数又称卡塔兰数，英文名Catalan number，是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。 由以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)命名，其前几项为 : 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...2原理
令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式
h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)例如：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);递推关系的解为：h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)递推关系的另类解为：h(n)=c(2n,n)-c(2n,n+1)(n=0,1,2,...) 以下转载：http://blog.csdn.net/hpu_zyh/article/details/10443813思路：算法分析：Catalan数、大数加法、大数乘法，在大数运算中这里用了Java的大数运算。总结了一下，最典型的四类应用 ：
1.括号化问题。
矩阵链乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n)种)
2.出栈次序问题。
一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?
类似：有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)
3.将多边行划分为三角形问题。
将一个凸N+2多边形区域分成三角形区域的方法数?
类似：一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她
从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？
类似：在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?
4.给顶节点组成二叉树的问题。
给定N个节点，能构成多少种不同的二叉树？
（能构成h（N）个）
Catalan数的解法
Catalan数的组合公式为 Cn=C(2n,n) / (n+1);
此数的递归公式为 h(n ) = h(n-1)*(4*n-2) / (n+1)
卡特兰数真是一个神奇的数字，很多组合问题的数量都和它有关系，例如：
Cn= n对括号正确匹配组成的字符串数，例如 3对括号能够组成：
((())) ()(()) ()()() (())() (()())
Cn= n+1个数相乘，所有的括号方案数。例如， 4个数相乘的括号方案为：
((ab)c)d (a(bc))d (ab)(cd) a((bc)d) a(b(cd))
Cn= 拥有 n+1 个叶子节点的二叉树的数量。例如 4个叶子节点的所有二叉树形态：
- Cn=n*n的方格地图中，从一个角到另外一个角，不跨越对角线的路径数，例如， 4×4方格地图中的路径有：
- Cn= n+2条边的多边形，能被分割成三角形的方案数，例如 6边型的分割方案有：
- Cn= 圆桌周围有 2n个人，他们两两握手，但没有交叉的方案数。
下面是一些大公司的笔试题
先来一道阿里巴巴的笔试题目：说16个人按顺序去买烧饼，其中8个人每人身上只有一张5块钱，另外8个人每人身上只有一张10块钱。
烧饼5块一个，开始时烧饼店老板身上没有钱。16个顾客互相不通气，每人只买一个。问这16个人共有多少种排列方法能避免找不开钱的情况出现。
C8=1430，所以总数=1430*8！*8！
2012腾讯实习招聘笔试题
在图书馆一共6个人在排队，3个还《面试宝典》一书，3个在借《面试宝典》一书，图书馆此时没有了面试宝典了，求他们排队的总数？
C3=5；所以总数为5*3！*3！=180.
题意： n个数按照顺时针排列，求每两个数之间用一条直线连接，要求不能相交的总的可能数。/************** Author:jiabeimuwei Times:36ms; Sources:NYOJ164 **************/ import java.math.BigInteger; import java.util.*; public class Main { public static void main(String[] args) { Scanner cin=new Scanner(System.in); BigInteger BIGnum[]=new BigInteger[101]; BIGnum[1]=BigInteger.ONE; for(int i=2; i<101; i++) { BIGnum[i]= BIGnum[i-1].multiply(BigInteger.valueOf(4*i-2)) .divide(BigInteger.valueOf(i+1)); } int n; while(true) { n=cin.nextInt(); if(n==-1)break; System.out.println(BIGnum[n]); } } } 学长的比较优的代码： import java.io.*; import java.lang.*; import java.math.BigInteger; import java.util.Scanner; class Main{ static BigInteger []h=new BigInteger[110]; public static void main(String[] args) { h[0]=BigInteger.ONE; int n=101; for(int i=1;i!=n;i++) h[i]=(h[i-1]).multiply(BigInteger.valueOf((4*i-2))).divide(BigInteger.valueOf(i+1)); Scanner cin=new Scanner(System.in); while(cin.hasNextInt()) { int m=cin.nextInt(); if(m==-1) break; System.out.println(h[m].toString()); } } }吐槽：
本来这篇昨天下午就应该总结的，下午一出工作室，实在忍不住肚子的咕咕叫，直接就奔餐厅了，原谅吃货一枚，
早上有一觉醒来，又是九点多了……^_^.
继续学习！！！
