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typedef struct node{
       int v, w;
       struct node *nxt, *op;
}NODE;

NODE edg[MM]; // 保存所有的边 
NODE *link[NN]; // 记录节点所在链表的首节点 
int h[NN];    // 距离标号，记录每个点到汇点的距离，这里的距离指的是层数 
int num[NN];  // gap优化，标号为i的顶点个数 

int M, N, idx, S, T, n; // S 表示源点，T表示汇点，n表示节点个数 
void add(int u, int v, int c){
     idx++;
     edg[idx].v = v;
     edg[idx].w = c;
     edg[idx].nxt = link[u];
     edg[idx].op = edg + idx + 1;
     link[u] = edg + idx;     
     idx++;
     edg[idx].v = u;
     edg[idx].w = 0;
     edg[idx].nxt = link[v];
     edg[idx].op = edg + idx - 1;
     link[v] = edg + idx;
}

int Min(int a, int b){
    return a < b ? a : b;
}

int aug(int u, int flow){
    if (u == T) return flow;
    int l = flow;  // l表示剩余容量 
    int tmp = n - 1;
    for (NODE *p = link[u]; p; p = p->nxt){
        if (h[u] == h[p->v] + 1 && p->w){
           int f = aug(p->v, Min(l, p->w));
           l -= f;
           p->w -= f;
           p->op->w += f;
           if (l == 0 || h[S] == n) return flow - l; // gap
        }
        // 这里是有剩余容量的可行边 
        if (p->w > 0 && h[p->v] < tmp){
           tmp = h[p->v];  
        }
    }
    if(l == flow){//  如果没有找到增流，才修改标号，刚开始写错了，也杯具的过了好多题 
        num[h[u]]--;   // gap 
        if (num[h[u]] == 0) h[S] = n; // gap，每个点的距离值最多为n - 1，这里设为n 表示断层了 
        else{
           h[u] = tmp + 1;
           num[h[u]]++;   // gap
        }
    }
    return flow - l;
}
/*n表示总点的个数，包括源点和汇点*/
void sap(){
     int ans = 0;
     memset(h, 0, sizeof(h)); // h 保存的是距离标号(到汇点的) 
     memset(num, 0, sizeof(num));
     num[0] = n;
     while(h[S] < n){
         ans += aug(S, INF); 
     }
     printf("%d\n", ans);
}

 

sap里面有个gap优化，一直没看懂，今天整理一下，发现被我修改变量名的num[i]记录的含义是标号为i的顶点数，刚开始num数组置零，表示所有表号都没有，唯独num[0] = n，表示所有的顶点现在的标号都为0。引用一下：我们在某次增广后，最大流可能已经求出，因此算法做了许多无用功。可以发现，距离标号是单调增的。这启示我们如果标号中存在“间隙”，则图中不会再有可增广路，于是算法提前终止。实践中我们使用数组vh[i]记录标号为i的顶点个数，若重标号使得vh中原标号项变为0，则停止算法。我这里用的num存的。