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真的是好东西~
(I). POJ 2480 Longge's problem (http://poj.org/problem?id=2480)
题目大意: 求 sigma(gcd(i, n)), 1 ≤ i ≤ n.
考虑到枚举 i 可能会超时, 我们可以反过来枚举 d | n, 那么答案就是 sigma(d * phi(n / d)).
(II). SPOJ LCMSUM (https://www.spoj.pl/problems/LCMSUM/)
题目大意: 求 sigma(lcm(i, n)), 1 ≤ i ≤ n.
sigma(lcm(i, n)) = n * sigma(i / gcd(i, n)). 同上题一样, 枚举 d | n, 问题转化为求 sigma(i), gcd(i, n / d) == 1. 可以发现如果 i 与 n 互质, 那么 n – i与 n 也互质. 将互质的数两两配对后答案就是 n / d * phi(n / d) / 2.
(III). SPOJ GCDEX (https://www.spoj.pl/problems/GCDEX/)
题目大意: 求 sigma(gcd(i, j)), 1 ≤ i < j ≤ n.
枚举 j 后转化为 (I).
(IV). POI Zap (http://www.zybbs.org/JudgeOnline/problem.php?id=1101)
题目大意: 求有多少对 gcd(i, j) == d (i ≤ a, j ≤ b).
令 a’ = a / d, b’ = b / d, 问题等价于求满足 gcd(i, j) == 1的数量 (i ≤ a’, j ≤ b’).
定义 F(k) 为 gcd(i, j) ≥ k 的数量, G(k) 为 gcd(i, j) == k 的数量.
那么F(k) = (a’ / k) * (b’ / k)
根据容斥原理有G(1) = F(1) – F(2) – F(3) - F(5) + F(6) …
系数可以用筛法预处理, 同时观察到对于连续的一段 k, F(k) 都是相同的,可以一起算出来. 通过预处理系数的前缀和可以在 O(sqrt(n)) 的时间算出 G(1).
(V). SPOJ PGCD (https://www.spoj.pl/problems/PGCD/)
题目大意: 求有多少 gcd(i, j) 是质数, 1 ≤ i ≤ a, 1 ≤ j ≤ b.
枚举质数 P 后转化为 (IV).
(VI). NOI 2010 能量采集 (http://www.zybbs.org/JudgeOnline/problem.php?id=2005)
题目大意: 求 sigma(gcd(i, j)), i ≤ a, j ≤ b.
Sol 1.
令 F[k] 为满足 gcd(i, j) == k 的数量.
那么F[k] = (a / k) * (b / k) – F[2k] – F[3k] – F[4k] …
答案就是 sigma(i * F[i]).
时间复杂度 O(n / 1 + n / 2 + n / 3 + …) = O(nlogn).
Sol 2.
枚举 d = gcd(i, j), a’ = a / d, b’ = b / d, 那么问题转化为求满足 gcd(i, j) == 1(i ≤ a, j ≤ b) 的数量, 也就转化为 (IV), 将这个数量记为 F(a, b).
同时注意到对于一段连续的d, F(a’, b’) 都是一样的, 可以一起算出来.
时间复杂度 O(sqrt(n) * sqrt(n)) = O(n).
(VII). Crash 的数字表格 (http://www.zybbs.org/JudgeOnline/problem.php?id=2154)
题目大意: 求 sigma(lcm(i, j)) (i ≤ a, j ≤ b).
sigma(lcm(i, j)) = sigma(i * j / gcd(i, j))
枚举 d = gcd(i, j), 我们只需要对于所有相同的 d, 计算出 sigma(i * j).
令 a’ = a / d, b’ = b / d, 那么问题转化为求 F(a’, b’) = sigma(i * j) (gcd(i, j) == 1, i ≤ a’, j ≤ b’).
令 Sum(a, b) = 1 * 1 + 1 * 2 + … + a * b, 由等差数列的求和公式可得:
Sum(a, b) = a * (a + 1) * b * (b + 1) / 4.
根据容斥原理有F(a, b) =12 * Sum(a / 1, b / 1) - 22 * Sum(a / 2, b / 2) - 32 * Sum(a / 3, b / 3) - 52 * Sum(a / 5, b / 5) + 62 * Sum(a / 6, b / 6)..
注意到对于一段连续的 i, Sum(a / i, b / i) 是相同的, Sum 的系数也可以通过筛法预处理出来.
最后, 对于一段连续的 d, F(a’, b’) 也是相同的, 可以一起算出来.
时间复杂度 O(sqrt(n) * sqrt(n)) = O(n).