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 树状数组，一个用来区间求和修改都为log（n）的算法。在网上资料很多，看起来也不是很难，学习一下！

基本上学习树状数组都会看到下面这个图，这也是最基本的一个图，看懂这个以后，对树状数组也就会有

一定的了解了。

令这棵树的结点编号为C1，C2...Cn。令每个结点的值为这棵子树的值的总和，那么容易发现：

      C1 = A1

　　C2 = A1 + A2

　　C3 = A3

　　C4 = A1 + A2 + A3 + A4

　　C5 = A5

　　C6 = A5 + A6

　　C7 = A7

　　C8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8

　　...

　　C16 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 + A9 + A10 + A11 + A12 + A13 + A14 + A15 + A16

设节点编号为x，那么这个节点管辖的区间为2^k（其中k为x二进制末尾0的个数）个元素。因为这个区间最后一个元素必然为Ax，

所以很明显：Cn = A(n – 2^k + 1) + ... + An

算这个2^k有一个快捷的办法，定义一个函数如下即可：

　　int lowbit(int x)

     {

　　     return x&(x^(x–1));

　　}

当想要查询一个SUM(n)(求a[n]的和），可以依据如下算法即可：

　　step1:　令sum = 0，转第二步；

　　step2:　假如n <= 0，算法结束，返回sum值，否则sum = sum + Cn，转第三步；

　　step3: 令n = n – lowbit(n)，转第二步。

　　可以看出，这个算法就是将这一个个区间的和全部加起来，为什么是效率是log(n)的呢？以下给出证明：

　n = n – lowbit(n)这一步实际上等价于将n的二进制的最后一个1减去。而n的二进制里最多有log(n)个1，所以查询效率是log(n)的。

那么修改呢，修改一个节点，必须修改其所有祖先，最坏情况下为修改第一个元素，最多有log(n)的祖先。

　　所以修改算法如下（给某个结点i加上x）：

　　step1: 当i > n时，算法结束，否则转第二步；

　　step2: Ci = Ci + x， i = i + lowbit(i)转第一步。

　　i = i +lowbit(i)这个过程实际上也只是一个把末尾1补为0的过程。

　　对于数组求和来说树状数组简直太快了!

实现代码：

一维数组:</p> <p> int Lowbit(int t)<br /> {//求2^k<br /> return t&(t^(t-1));<br /> //return t&(-t);<br /> }</p> <p>int Sum(int end)<br /> {//求和<br /> int sum = 0;<br /> while(end>0)<br /> {<br /> sum += c[end];<br /> end -= Lowbit(end);<br /> }<br /> return sum;<br /> }</p> <p>void Mudity(int pos,int num)<br /> {//在pos上加上num<br /> while(pos <= 16)<br /> {<br /> c[pos] += num;<br /> pos += Lowbit(pos);<br /> }<br /> }</p> <p>二维数组：</p> <p>int c[MAX][MAX];</p> <p>int Lowbit(int t)<br /> {<br /> return t&(-t);<br /> }</p> <p>int Sum(int i,int j)<br /> {<br /> int sum = 0;<br /> while(i>0)<br /> {</p> <p>int temp = j;<br /> while(temp>0)<br /> {<br /> sum += c[i][temp];</p> <p> temp -= Lowbit(temp);<br /> }<br /> i -= Lowbit(i);<br /> }<br /> return sum;<br /> }</p> <p>int Modity(int i,int j,int num)<br /> {<br /> while(i<=MAX)<br /> {<br /> int temp = j;<br /> while(temp<=MAX)<br /> {<br /> c[i][temp] += num;<br /> temp += Lowbit(temp);<br /> }<br /> i += Lowbit(temp);<br /> }<br /> }</p> <p>

树状数组是一个很高效的进行区间统计的数据结构，在思想上类似于线段树，相比的话，空间复杂度低，编程复杂度低，可扩张到多维。但缺点是适用范围小。