首先，我们讲下两堆石子的时候的取石策略：
对于两个数量不相等堆，先手总是赢的，因为他可以从大的一堆里拿走一定的石子使得两堆石子数量相等，而轮到后手拿时，他拿了之后一定又是两堆石子不相等的情况，因为如果他拿了之后只剩一堆了，那么先手就赢了。所以当拿到最后两堆都只有1颗石子时，后手一定要拿一颗，所以先手就赢了。
而对于两个数量相等的堆，后手总是赢的。因为先手拿了之后，两堆石子数量就不想等了，这个时候后手就可以用前面先手赢他的方法赢后手。
所以对于两堆石子的胜负，就看两堆石子是否相等。
现在我们再来看看用2进制表示，我们将每个堆看成是用它的二进制1的个数个子堆所形成的的，例如：57 = 111001，就可以看成是由2^5,2^4,2^3,2^0,4个子堆组成的。
然后看如何用二进制看胜负状态：
如果两堆的每个位上的子堆的个数是偶数，那么它就代表两堆石子数量是相等的。
因为每个位的子堆的个数的状态只有0,1,2，三种。
现在推广到k堆的状态：
将N堆石子用二进制表示：
N1 = As...A1A0
N2 = Bs...B1B0
N3 = Cs...C1C0
...
Nk = Ms...M1M0
则：As + Bs + .... + Ms = 偶数
...
A1 + B1 +... + M1 = 偶数
A0 + B0 + ... + M0 = 偶数
这种状态则后手胜，否则先手胜。
推广证明：
定义P-position和N-position，其中P代表Previous，N代表Next。直观的说，上一次move的人有必胜策略的局面是P-position，也就是“后手可保证必胜”或者“先手必败”，现在轮到move的人有必胜策略的局面是N-position，也就是“先手可保证必胜”。更严谨的定义是：1.无法进行任何移动的局面（也就是terminal position）是P-position；2.可以移动到P-position的局面是N-position；3.所有移动都导致N-position的局面是P-position。
按照这个定义，如果局面不可能重现，或者说positions的集合可以进行拓扑排序，那么每个position或者是P-position或者是N-position，而且可以通过定义计算出来
根据定义，证明一种判断position的性质的方法的正确性，只需证明三个命题： 1、这个判断将所有terminal position判为P-position；2、根据这个判断被判为N-position的局面一定可以移动到某个P-position；3、根据这个判断被判为P-position的局面无法移动到某个P-position。
第一个命题显然，terminal position只有一个，就是全0，异或仍然是0。
第二个命题，对于某个局面(a1,a2,...,an)，若a1^a2^...^an<>0，一定存在某个合法的移动，将ai改变成ai'后满足a1^a2^...^ai'^...^an=0。不妨设a1^a2^...^an=k，则一定存在某个ai，它的二进制表示在k的最高位上是1（否则k的最高位那个1是怎么得到的）。这时ai^k<ai一定成立。则我们可以将ai改变成ai'=ai^k，此时a1^a2^...^ai'^...^an=a1^a2^...^an^k=0。
第三个命题，对于某个局面(a1,a2,...,an)，若a1^a2^...^an=0，一定不存在某个合法的移动，将ai改变成ai'后满足a1^a2^...^ai'^...^an=0。因为异或运算满足消去率，由a1^a2^...^an=a1^a2^...^ai'^...^an可以得到ai=ai'。所以将ai改变成ai'不是一个合法的移动。证毕。
根据这个定理，我们可以在O(n)的时间内判断一个Nim的局面的性质，且如果它是N-position，也可以在O(n)的时间内找到所有的必胜策略。Nim问题就这样基本上完美的解决了。
参考资料：http://wenku.baidu.com/view/8cc03974a417866fb84a8eeb.html（Nim取石子游戏）