计算item之间的相似项，计算item的top M最相似item，协同过滤计算(user based或item based)等等计算中，涉及大量两两相似项计算，计算复杂度为o(n²k)，其中n为item量级，k为元素维度量级。即使hadoop和mpi使得模型可在多个机器或处理器协同计算，在处理o(n)，nlog(n)复杂度问题时，如鱼得水。但是不说指数级的复杂度，对于m≥2的多项式级复杂度，都是一种对机器的亵渎，也成为了不是一般人或公司能玩得起的东东。

    局部敏感哈希(Locality Sensitive Hashing, LSH)通过哈希方法，缩小两两相似(top)计算的范围，或缩小计算中item的维数，从而达到快速计算相似度的方法。使复杂度变为o(nml)，其中n为item的量级，m<<n为新的搜索空间，类似于分支限界中的分支，l<<k，类似于降维处理。

    由于笔者常关注于个性化推荐的top M服务，本文所述也主要用于此，但不限于此。

1 Jaccard相似度

    Jaccard相似度计算十分便于计算离散集合之间的相似度，在个性化推荐中应用极广。Jaccard的相似度计算如图1所示，其中S和T的相似度为J(S,T)=3/8。

图1
Jaccard相似度计算

    PS：大量连续的相似度计算，也可以转成Jaccard相似度计算，在此不述。

2 Simhash

    Simhash主要做用是使复杂度o(nml)中，使m<<n，即大幅减小搜索空间的作用。例如计算item a的近临(top M)时，只搜索一个特定的近临空间m，而非整个庞大的n空间。

    Simhash是通过设计一个hash方法，使要内容相近item生的hash签名也相近，hash签名的相近程度，也能反映出item间的相似程度。

    Simhash算法如下：

假设item={item1,item2,…}，取hash函数，将item的每一个元素hash成一个M位的int签名值，将int值按二进制表示，0处全表示为-1，记为H，将所有按位相加，最后加正的位为1，为负的位值为0，这就是item最后的simhash结果。这样就可以使相似的item有相近的hash值。

    举例说明如下，假设item a ={1,2,3,4}, item b={1,2,3,5}, h(x)=x%8，M=3，有如图2中的结果，item a的sim hash值为(0,0,1,0)，item b的sim hash值为(0,0,1,1)，可见两者的sim hash值相似,通过两者的汉明码计算，便可以用汉明码来衡量两者的相似程度。

图2
simhash计算

    从降维的脚度看，通过将item预处理为simhash值后，通过计算两者的汉明距离计算相似度。可惜汉明距离并不能完全表征两者的实际相似程度，因而simhash常用于缩小搜索空间，计算item a的top M相似item时，搜索限为汉明距离最近的空间中。例如假设hash在64位，共将有2⁶⁴个hash桶，将所有item预先按hash桶建好索引后，计算item
a的top M或满足某域值的相似item时，可从最近的hash桶中搜索，最近的桶为本桶中的其它item，其次为1位不同的其它hash桶，共64个，再次为2位不同的桶，共64*64个…

3 Minhash  

    Minhash主要做用是使复杂度o(nml)中，使l<<k，即减小计算两两相似度计算的维数。

    由第1节可知，计算J(S,T)的关键在于计算S∩T或S∪T。直接求S∩T或S∪T，在有序的归并方法中，复杂度也是k的级别。Minhash的目的是降维，主要原理是两集合经随机转换后得到的两个最小hash值相等的概率等于两集合的Jaccard的相似度！(可以枚举出相应结果)。

     由于只取一个hash函数时，只有相等与不等两个结果，对应于原理，也就只有相似与不相似不个结果。取一系列hash函数后，便可以概率性地统计出结果，而取hash函数的个数据，决定将k降维后的维数l，l越大，相似结果与实际相似度越相近，一般10个左右就已经能满足工程需求。

     这样数据预处理完后，计算两item间的复杂度，就等于计算最小Minhash相同的概率了。

    PS：在工程中，不容易找一系列的hash函数，由hash母函数生成的一系列hash函数可能相关，将降低Minhash的经度。

4 优势与局限性

    Simhash和Minhash都有明显的应用局限性：

1、集合中的item要比较多；

2、所求的相关项要比较相似；

    优势：

1、简化复杂相似项计算；

2、原理易于理解，点破后，给人显而易见的感觉。

参考：

Similarity estimation techniques from rounding algorithms；

Mining of Massive Datasets；

对于同仁们的布道授业，一并感谢。

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