在信息学竞赛中，有关生成树的最优化问题如最小生成树等是我们经常遇到的，而对生成树的计数及其相关问题则少有涉及。事实上，生成树的计数是十分有意义的，在许多方面都有着广泛的应用。本文从一道信息学竞赛中出现的例题谈起，首先介绍了一种指数级的动态规划算法，然后介绍了行列式的基本概念、性质，并在此基础上引入Matrix-Tree定理，同时通过与一道数学问题的对比，揭示了该定理所包含的数学思想。最后通过几道例题介绍了生成树的计数在信息学竞赛中的应用，并进行总结。
关键字
生成树的计数 Matrix-Tree定理
问题的提出
[例一]高速公路（SPOJ p104 Highways）
一个有n座城市的组成国家，城市1至n编号，其中一些城市之间可以修建高速公路。现在，需要有选择的修建一些高速公路，从而组成一个交通网络。你的任务是计算有多少种方案，使得任意两座城市之间恰好只有一条路径？
数据规模：1≤n≤12。
[分析]
我们可以将问题转化到成图论模型。因为任意两点之间恰好只有一条路径，所以我们知道最后得到的是原图的一颗生成树。因此，我们的问题就变成了，给定一个无向图G，求它生成树的个数t(G)。这应该怎么做呢？
经过分析，我们可以得到一个时间复杂度为O(3n*n2)的动态规划算法，因为原题的规模较小，可以满足要求。但是，当n再大一些就不行了，有没有更优秀的算法呢？答案是肯定的。在介绍算法之前，首先让我们来学习一些基本的预备知识。
新的方法
介绍
下面我们介绍一种新的方法——Matrix-Tree定理(Kirchhoff矩阵-树定理)。Matrix-Tree定理是解决生成树计数问题最有力的武器之一。它首先于1847年被Kirchhoff证明。在介绍定理之前，我们首先明确几个概念：
1、G的度数矩阵D[G]是一个n*n的矩阵，并且满足：当i≠j时,dij=0；当i=j时，dij等于vi的度数。
2、G的邻接矩阵A[G]也是一个n*n的矩阵， 并且满足：如果vi、vj之间有边直接相连，则aij=1，否则为0。
我们定义G的Kirchhoff矩阵(也称为拉普拉斯算子)C[G]为C[G]=D[G]-A[G]，则Matrix-Tree定理可以描述为：G的所有不同的生成树的个数等于其Kirchhoff矩阵C[G]任何一个n-1阶主子式的行列式的绝对值。所谓n-1阶主子式，就是对于r(1≤r≤n)，将C[G]的第r行、第r列同时去掉后得到的新矩阵，用Cr[G]表示。
附程序：
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
#define zero(x)((x>0? x:-x)<1e-15)
int const MAXN = 100;
double a[MAXN][MAXN];
doubleb[MAXN][MAXN];
int g[53][53];
int N, M;
double det(double a[MAXN][MAXN], int n) {
int i, j,k, sign = 0;
doubleret = 1, t;
for (i =0; i < n; i++)
for(j = 0; j < n; j++)
b[i][j] = a[i][j];
for (i =0; i < n; i++) {
if(zero(b[i][i])) {
for (j = i + 1; j < n; j++)
if (!zero(b[j][i]))
break;
if (j == n)
return 0;
for (k = i; k < n; k++)
t = b[i][k], b[i][k] = b[j][k], b[j][k] = t;
sign++;
}
ret*= b[i][i];
for(k = i + 1; k < n; k++)
b[i][k] /= b[i][i];
for(j = i + 1; j < n; j++)
for (k = i + 1; k < n; k++)
b[j][k] -= b[j][i] * b[i][k];
}
if (sign& 1)
ret =-ret;
returnret;
}
int main() {
int cas;
scanf("%d", &cas);
while (cas--) {
scanf("%d%d", &N,&M);
for (int i = 0;i < N; i++) {
for (int j = 0; j < N; j++) {
g[i][j] = 0;
}
}
while(M--) {
int a, b;
scanf("%d%d", &a, &b);
g[a - 1][b - 1] = g[b - 1][a - 1] = 1;
}
for(int i = 0; i < N; i++) {
for (int j = 0; j < N; j++) a[i][j] = 0;
}
for(int i = 0; i < N; i++) {
int d = 0;
for (int j = 0; j < N; j++) if (g[i][j]) d++;
a[i][i] = d;
}
for(int i = 0; i < N; i++) {
for (int j = 0; j < N; j++) {
if (g[i][j]) a[i][j] = -1;
}
}
double ans = det(a, N - 1);
printf("%0.0lf\n", ans);
}
return 0;
}