学习DIP第5天
- 为什么需要FFT
第一个问题是为什么要创造FFT，简单的说，为了速度。我们承认DFT很有用，但是我们发现他的速度不是很快，1D的DFT原始算法的时间复杂度是O(n^2)，这个可以通过公式观察出来，对于2D的DFT其时间复杂度是O（n^4），这个速度真的很难接受，也就是说，你计算一幅1024x768的图像时，你将等大概。。。大概。。。我也没试过，反正很久。不信的自己去试试。所以找到一种快速方法的方法计算FFT势在必行。
以下为DFT公式
计算一个4点DFT。计算量如下：
![]()
- 如何得到FFT
通过观察DFT公式，我们发现DFT计算每一项X[u]的时候都遍历了完整的x[n]所以，我们的想法就是能不能通过其他的X[u+m]（m为一个整数，可正可负）得到X[u]，也就是充分利用之间的计算结构来构建现在的结果，这种方法就很容易表现成迭代的形式。本文介绍基2的FFT，及离散信号x[n]的个数为2的k次方，即如果完整的离散信号中有N个信分量{x1，x2，x3....xN}其中N=1<<k。
- 数学基础
FFT的数学基础其实就是：
旋转因子具有以下性质：
这些性质使得我们可以利用前面的计算结果来完成出后续的计算。
- 2-FFT
观察：一个只有两个值的离散信号，假设N=2，利用性质2-对称性可以得到
- 4-FFT
与上面2点的一样，推广到4点，将会是这样，其中方框内的操作为上述2-FFT：
最终算法：
- 8-FFT
废话不多说，和上面一样：
计算过程为：
结果为：
完整的计算过程见下面的动图。CSDN不会动，网盘自己下来看：
- 2^n-FFT
同理，推广到2^n，可以得到类似的结果，不过我们发现，为了使输出结果为顺序结果，输入的顺序经过了一系列的调整，而且每一步WN的幂次参数也是变化，我们必须得到其变化规律才能更好的编写程序：
观察WN的变化规律为：
节点距离（设为z）就是从WN的0次幂开始连续加到WN的z次幂。然后间隔为z个式子，再次从0次幂加到z次。重复以上过程：
例如第二级，间隔z=2，节点为实心黑色点，节点0,1，不做操作，节点2*W8^0,节点3*W8^2，节点4，5不做操作。。
其内在规律就是节点i是否乘以WN：
if（i%z==奇数）
节点i*WN^(step)；
step每次增加的数量由当前的所在的计算级决定
step=1<<（k（总级数）-i（当前级数））
- 输入参数重新排序
i行表示数组下标，蓝色数字表示实际数据：其内在规律就是，下标为偶数的将被映射到自己本身下标的1/2处，下表为奇数时被映射到数组后半段（size_n/2）的（下标-1）1/2处，将排列后的数据分为前后两个部分，递归次过程，直到只有两个元素。则停止。过程如下：
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- 观察算法
观察至此，我们已经基本把FFT蝶形算法的所有特征都搞定了，接下来就是使用代码来实现了。
- 实现代码
//
// main.c
// Fourer1D
//
// Created by Tony on 14/11/16.
// Copyright (c) 2014年 Tony. All rights reserved.
//
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
#include <math.h>
//mac下M_PI在math.h中有宏定义，所以这里我们选择行的宏定义
#ifndef M_PI
#define M_PI 3.14159265358979323846
#endif
#define SIZE 1024*16
#define VALUE_MAX 1000
////////////////////////////////////////////////////////////////////
//定义一个复数结构体
///////////////////////////////////////////////////////////////////
struct Complex_{
double real;
double imagin;
};
typedef struct Complex_ Complex;
////////////////////////////////////////////////////////////////////
//定义一个复数计算，包括乘法，加法，减法
///////////////////////////////////////////////////////////////////
void Add_Complex(Complex * src1,Complex *src2,Complex *dst){
dst->imagin=src1->imagin+src2->imagin;
dst->real=src1->real+src2->real;
}
void Sub_Complex(Complex * src1,Complex *src2,Complex *dst){
dst->imagin=src1->imagin-src2->imagin;
dst->real=src1->real-src2->real;
}
void Multy_Complex(Complex * src1,Complex *src2,Complex *dst){
double r1=0.0,r2=0.0;
double i1=0.0,i2=0.0;
r1=src1->real;
r2=src2->real;
i1=src1->imagin;
i2=src2->imagin;
dst->imagin=r1*i2+r2*i1;
dst->real=r1*r2-i1*i2;
}
////////////////////////////////////////////////////////////////////
//在FFT中有一个WN的n次方项，在迭代中会不断用到，具体见算法说明
///////////////////////////////////////////////////////////////////
void getWN(double n,double size_n,Complex * dst){
double x=2.0*M_PI*n/size_n;
dst->imagin=-sin(x);
dst->real=cos(x);
}
////////////////////////////////////////////////////////////////////
//随机生成一个输入，显示数据部分已经注释掉了
//注释掉的显示部分为数据显示，可以观察结果
///////////////////////////////////////////////////////////////////
void setInput(double * data,int n){
//printf("Setinput signal:\n");
srand((int)time(0));
for(int i=0;i<SIZE;i++){
data[i]=rand()%VALUE_MAX;
//printf("%lf\n",data[i]);
}
}
////////////////////////////////////////////////////////////////////
//定义DFT函数，其原理为简单的DFT定义，时间复杂度O（n^2）,
//下面函数中有两层循环，每层循环的step为1，size为n，故为O（n*n）,
//注释掉的显示部分为数据显示，可以观察结果
///////////////////////////////////////////////////////////////////
void DFT(double * src,Complex * dst,int size){
clock_t start,end;
start=clock();
for(int m=0;m<size;m++){
double real=0.0;
double imagin=0.0;
for(int n=0;n<size;n++){
double x=M_PI*2*m*n;
real+=src[n]*cos(x/size);
imagin+=src[n]*(-sin(x/size));
}
dst[m].imagin=imagin;
dst[m].real=real;
/* if(imagin>=0.0)
printf("%lf+%lfj\n",real,imagin);
else
printf("%lf%lfj\n",real,imagin);*/
}
end=clock();
printf("DFT use time :%lf for Datasize of:%d\n",(double)(end-start)/CLOCKS_PER_SEC,size);
}
////////////////////////////////////////////////////////////////////
//定义IDFT函数，其原理为简单的IDFT定义，时间复杂度O（n^2）,
//下面函数中有两层循环，每层循环的step为1，size为n，故为O（n*n）,
///////////////////////////////////////////////////////////////////
void IDFT(Complex *src,Complex *dst,int size){
clock_t start,end;
start=clock();
for(int m=0;m<size;m++){
double real=0.0;
double imagin=0.0;
for(int n=0;n<size;n++){
double x=M_PI*2*m*n/size;
real+=src[n].real*cos(x)-src[n].imagin*sin(x);
imagin+=src[n].real*sin(x)+src[n].imagin*cos(x);
}
real/=SIZE;
imagin/=SIZE;
if(dst!=NULL){
dst[m].real=real;
dst[m].imagin=imagin;
}
if(imagin>=0.0)
printf("%lf+%lfj\n",real,imagin);
else
printf("%lf%lfj\n",real,imagin);
}
end=clock();
printf("IDFT use time :%lfs for Datasize of:%d\n",(double)(end-start)/CLOCKS_PER_SEC,size);
}
////////////////////////////////////////////////////////////////////
//定义FFT的初始化数据，因为FFT的数据经过重新映射，递归结构
///////////////////////////////////////////////////////////////////
int FFT_remap(double * src,int size_n){
if(size_n==1)
return 0;
double * temp=(double *)malloc(sizeof(double)*size_n);
for(int i=0;i<size_n;i++)
if(i%2==0)
temp[i/2]=src[i];
else
temp[(size_n+i)/2]=src[i];
for(int i=0;i<size_n;i++)
src[i]=temp[i];
free(temp);
FFT_remap(src, size_n/2);
FFT_remap(src+size_n/2, size_n/2);
return 1;
}
////////////////////////////////////////////////////////////////////
//定义FFT，具体见算法说明，注释掉的显示部分为数据显示，可以观察结果
///////////////////////////////////////////////////////////////////
void FFT(double * src,Complex * dst,int size_n){
FFT_remap(src, size_n);
// for(int i=0;i<size_n;i++)
// printf("%lf\n",src[i]);
clock_t start,end;
start=clock();
int k=size_n;
int z=0;
while (k/=2) {
z++;
}
k=z;
if(size_n!=(1<<k))
exit(0);
Complex * src_com=(Complex*)malloc(sizeof(Complex)*size_n);
if(src_com==NULL)
exit(0);
for(int i=0;i<size_n;i++){
src_com[i].real=src[i];
src_com[i].imagin=0;
}
for(int i=0;i<k;i++){
z=0;
for(int j=0;j<size_n;j++){
if((j/(1<<i))%2==1){
Complex wn;
getWN(z, size_n, &wn);
Multy_Complex(&src_com[j], &wn,&src_com[j]);
z+=1<<(k-i-1);
Complex temp;
int neighbour=j-(1<<(i));
temp.real=src_com[neighbour].real;
temp.imagin=src_com[neighbour].imagin;
Add_Complex(&temp, &src_com[j], &src_com[neighbour]);
Sub_Complex(&temp, &src_com[j], &src_com[j]);
}
else
z=0;
}
}
/* for(int i=0;i<size_n;i++)
if(src_com[i].imagin>=0.0){
printf("%lf+%lfj\n",src_com[i].real,src_com[i].imagin);
}
else
printf("%lf%lfj\n",src_com[i].real,src_com[i].imagin);*/
for(int i=0;i<size_n;i++){
dst[i].imagin=src_com[i].imagin;
dst[i].real=src_com[i].real;
}
end=clock();
printf("FFT use time :%lfs for Datasize of:%d\n",(double)(end-start)/CLOCKS_PER_SEC,size_n);
}
////////////////////////////////////////////////////////////////////
int main(int argc, const char * argv[]) {
double input[SIZE];
Complex dst[SIZE];
setInput(input,SIZE);
printf("\n\n");
DFT(input, dst, SIZE);
printf("\n\n");
FFT(input, dst, SIZE);
//IDFT(dst, NULL, SIZE);
getchar();
}
- 测试结果:
其中时间都为s，FFT优势明显