小明系列问题——小明序列
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提起小明序列,他给出的定义是这样的:
①首先定义S为一个有序序列,S={ A1 , A2 , A3 , ... , An },n为元素个数 ;
②然后定义Sub为S中取出的一个子序列,Sub={ Ai1 , Ai2 , Ai3 , ... , Aim },m为元素个数 ;
③其中Sub满足 Ai1 < Ai2 < Ai3 < ... < Aij-1 < Aij < Aij+1 < ... < Aim ;
④同时Sub满足对于任意相连的两个Aij-1与Aij都有 ij - ij-1 > d (1 < j <= m, d为给定的整数);
⑤显然满足这样的Sub子序列会有许许多多,而在取出的这些子序列Sub中,元素个数最多的称为“小明序列”(即m最大的一个Sub子序列)。
例如:序列S={2,1,3,4} ,其中d=1;
可得“小明序列”的m=2。即Sub={2,3}或者{2,4}或者{1,4}都是“小明序列”。
当小明发明了“小明序列”那一刻,情绪非常激动,以至于头脑凌乱,于是他想请你来帮他算算在给定的S序列以及整数d的情况下,“小明序列”中的元素需要多少个呢?
输入的第一行为两个正整数 n 和 d;(1<=n<=10^5 , 0<=d<=10^5)
输入的第二行为n个整数A1 , A2 , A3 , ... , An,表示S序列的n个元素。(0<=Ai<=10^5)
2 0 1 2 5 1 3 4 5 1 2 5 2 3 4 5 1 2
2 2 1
题目分析:
又是一题线段树+DP。。。
本题是要用线段树维护最大值。
首先我们先对数从小到大排序。然后按照顺序数从小到大的顺序将数 i 插到原来的位置a[ i ].idx上,并且在这之前先查询一下在区间[ 1 , a[ i ].idx - 1 - d ]上当前最大的最长上升序列,设为dp[ j ](1 <= j <= a[ i ].idx - d - 1),那么dp[ i ]就等于dp[ j ] + 1。然后将dp[ i ]插入到位置 i 中。最后查询整个区间[1,n]找到最大值输出即可。
为什么这样可行?因为每次插入一个数的时候,所有已经存在的数都是比这个数要小的,且以它作为结尾的最长上升序列已知,所以只要每次对线段树中的合法线段查询即可。
PS:其实树状数组也可以,不过不会用树状数组求最值= =||
代码如下:
#include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std ; typedef long long Int ; #define ls ( o << 1 ) #define rs ( o << 1 | 1 ) #define rt l , r , o #define root 1 , n , 1 #define lson l , m , ls #define rson m + 1 , r , rs #define mid ( ( l + r ) >> 1 ) #define clear( A , X ) memset ( A , X , sizeof A ) const int maxN = 100005 ; struct Node { int idx , x ; inline void input ( int _idx ) { scanf ( "%d" , &x ) ; idx = _idx ; } inline bool operator < ( const Node &c ) const { if ( x != c.x ) return x < c.x ; return idx > c.idx ; } } ; Node a[maxN] ; int mmax[maxN << 2] ; inline int max ( const int X , const int Y ) { if ( X > Y ) return X ; return Y ; } inline int min ( const int X , const int Y ) { if ( X < Y ) return X ; return Y ; } void PushUp ( int o ) { mmax[o] = max ( mmax[ls] , mmax[rs] ) ; } void Update ( int pos , int val , int l , int r , int o ) { if ( l == r ) { mmax[o] = val ; return ; } int m = mid ; if ( pos <= m ) Update ( pos , val , lson ) ; else Update ( pos , val , rson ) ; PushUp ( o ) ; } int Query ( int L , int R , int l , int r , int o ) { if ( L <= l && r <= R ) return mmax[o] ; int m = mid , ans = 0 ; if ( L <= m ) ans = max ( ans , Query ( L , R , lson ) ) ; if ( m < R ) ans = max ( ans , Query ( L , R , rson ) ) ; return ans ; } void work () { int n , d ; while ( ~scanf ( "%d%d" , &n , &d ) ) { for ( int i = 1 ; i <= n ; ++ i ) a[i].input ( i ) ; sort ( a + 1 , a + n + 1 ) ; clear ( mmax , 0 ) ; int dp = 0 ; for ( int i = 1 ; i <= n ; ++ i ) { if ( a[i].idx - 1 - d > 0 ) { dp = Query ( 1 , a[i].idx - 1 - d , root ) ; } else dp = 0 ; Update ( a[i].idx , dp + 1 , root ) ; } dp = Query ( 1 , n , root ) ; printf ( "%d\n" , dp ) ; } } int main () { work () ; return 0 ; }