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十个利用矩阵乘法解决的经典题目

2017年12月15日 ⁄ 综合 ⁄ 共 13276字 ⁄ 字号 小 中 大 ⁄ 评论关闭

ZOJ (3497 Mistwald 关于矩阵求点直接连通的问题)

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Posted by: spoiler in: 十个利用矩阵乘法解决的经典题目

题目大意：给你一个N*M 的矩阵， 矩阵里的每个点代表一个全送阵， 代表当前点可以全送到4个点，你的出发点是（1，1）；要到达的点是（n,m），这里要注意的是，一旦任何点到了（n,m）点之后 就会被全送出去，离开整个地图，所以这里算是一个陷阱，您要把（n,m）点能够到达的点，全部置0，（”0“代表他不能到达某个点）

题目分析：

这里是Maxtrix67 大牛总结的 第八个矩阵的经典应用:

给定一个有向图，问从A点恰好走k步（允许重复经过边）到达B点的方案数mod p的值
把 给定的图转为邻接矩阵，即A(i,j)=1当且仅当存在一条边i->j。令C=A*A，那么C(i,j)=ΣA(i,k)*A(k,j)，实际上就 等于从点i到点j恰好经过2条边的路径数（枚举k为中转点）。类似地，C*A的第i行第j列就表示从i到j经过3条边的路径数。同理，如果要求经过k步的
路径数，我们只需要二分求出A^k即可;

题目让我们求的是他们是否连通，这里只需用1与0带入即可，

我们这里在乘的过程不是求和，而是用到“与”操作，因为我们要得出的结果不是路径数，而是 是否能经过K步到达该点～

代码+部分注释：

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#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using
namespace

std;
struct
M {
    int

s[30][30];
};
struct
M unit;
int

n;
struct
M multiply(struct M a,struct M b){
    struct
M c;
    for(int

i=1;i<=n;i++)
        for(int

j=1;j<=n;j++){
            c.s[i][j]=0;
            for(int

k=1;k<=n;k++)
   
                           //：注意下面这个操作，是“|”而不是“+”这里是求是否能到达
   
                           //而不是求
到达的路径数目！
                c.s[i][j]=(c.s[i][j]|a.s[i][k]*b.s[k][j]);
        }
    return

c;
}
struct
M paw(struct M a,int

t){
    struct
M ans=unit;
    struct
M b=a;
    while(t){
        if(t%2==1)
            ans=multiply(ans,b);
        b=multiply(b,b);
        t/=2;
    }
    return

ans;
}
int

main(){
    struct
M a;
    memset(unit.s,0,sizeof(unit.s));
    char
str[100];
    int

num[10];
    for(int

i=1;i<=30;i++)
        unit.s[i][i]=1;
    int

h,z,p,cas,t;
    int

s,e,i,j,k;
    scanf("%d",&cas);
    while(cas--){
        memset(a.s,0,sizeof(a.s));
        scanf("%d
%d",&h,&z);
        n=h*z;
        for(i=1;i<=h;i++)
            for(j=1;j<=z;j++){
                scanf("%s",str);
                sscanf(str,"((%d,%d),(%d,%d),(%d,%d),(%d,%d))",&num[1],&num[2],&num[3],&num[4],&num[5],&num[6],&num[7],&num[8]);
                s=(i-1)*z+j;
                for(k=1;k<=8;k+=2){
                    e=(num[k]-1)*z+num[k+1];
                    a.s[s][e]=1;
                }
            }
   
            //：转换成邻接矩阵后，a.s[n][]就是
   
          //代表原来地图里的[n][m]点与其他点的链接状态
   
          //因为题意说，凡是到了[n][m]点之后，就会马上
   
       //全送出去，离开这个地图，所以我们要把[n][m]到其他点的
   
       //状态值都赋为0！
        for(i=1;i<=n;i++)
            a.s[n][i]=0;
        scanf("%d",&p);
        while(p--){
            scanf("%d",&t);
            struct
M  c=paw(a,t);
            if(c.s[1][n]==0)
                printf("False\n");
            else{  
                int

x;
                for(x=1;x<=n;x++){
                    if(c.s[1][x]==1)
                        break;
                }
                    if(n==x)
                        printf("True\n");
                    else
                        printf("Maybe\n");
            }
        }
        printf("\n");
    }
}

 

HDU （1683 纪念SlingShot ）

284

Posted by: spoiler in: 十个利用矩阵乘法解决的经典题目

题目：已知 F（n）=3 * F（n-1）+2 * F（n-2）+7 * F（n-3），n>=3，其中F（0）=1，F（1）=3，F（2）=5，对于给定的每个n，输出F（0）+ F（1）+ …… + F（n） mod 2009。

题目分析：这里我们推出S[N]=S[N-1]+F[N];

F[N]=3*F[N-1] +2*F[N-2] +7*F[N-3];

首先我们要知道这点，我们这里在第推计算 F[n]的同时，也要计算出 S[N];

所以您要构造出一个矩阵 把S[N] F[N] 同时收录计算，在这里我构造的矩阵 如下：

由于第一写了很多，完成文章的时候莫名其妙的 成了空白，所以第二次 我没上次那么仔细分析了

您有不懂的 或者指点的地方 请留言 我立即修正 或者给您答疑：

模拟计算过程的矩阵;

1 3 2 7

0 3 2 7

0 1 0 0

0 0 1 0

初始状态的矩阵：

9 0 0 0

5 0 0 0

3 0 0 0

1 0 0 0

还有构造一个单位矩阵 unit用来 二分计算 {^_^}

代码+部分注释：

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#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using
namespace

std;
struct
M {
    int

s[5][5];
};
struct
M unit,tempt,res;
struct
M multiply(struct M a,struct M b){
    struct
M c;
    for(int

i=1;i<=4;i++)
        for(int

j=1;j<=4;j++){
            c.s[i][j]=0;
            for(int

k=1;k<=4;k++)
                c.s[i][j]=(c.s[i][j]+(a.s[i][k]*b.s[k][j])%2009)%2009;
        }
    return

c;
}
struct
M paw(int

t){
    struct
M ans=unit;
    struct
M a=tempt;
    struct
M b=res;
    while(t){
        if(t%2==1)
            ans=multiply(ans,a);
        a=multiply(a,a);
        t/=2;
    }
    b=multiply(ans,b);
    return

b;
}
int

main(){
    int

f[5];
    f[1]=1;
f[2]=3;
f[3]=5;
    f[4]=28;
    memset(unit.s,0,sizeof(unit.s));
    memset(res.s,0,sizeof(res.s));
    memset(tempt.s,0,sizeof(tempt.s));
    for(int

i=1;i<=4;i++)
        unit.s[i][i]=1;
    tempt.s[1][1]=1;   
tempt.s[1][2]=3;   
    tempt.s[1][3]=2;   
tempt.s[1][4]=7;
    tempt.s[2][2]=3;   
tempt.s[2][3]=2;
    tempt.s[2][4]=7;   
tempt.s[3][2]=1;
    tempt.s[4][3]=1;
    res.s[1][1]=9; 
res.s[2][1]=5;
    res.s[3][1]=3; 
res.s[4][1]=1;
    int

cas,t,k;
    scanf("%d",&cas);
    for(k=1;k<=cas;k++){
        scanf("%d",&t);
        t++;
        if(t<=3){
            int

sum=0;
            for(int

i=1;i<=t;i++)
                sum+=f[i];
            printf("Case
%d: %d\n",k,sum);
            continue;
        }
        struct
M c=paw(t-3);
        printf("Case
%d: %d\n",k,c.s[1][1]);
    }
    return

0;
}

 

FZU 1692(Key problem)

284

Posted by: spoiler in: 十个利用矩阵乘法解决的经典题目

题目分析： 首先题目大意是，有n个小孩，初始时每个人有ai个苹果。现在要进行m轮游戏。每进行一轮游戏，第i个小孩的苹果增加

( R*A(i+n-1)%n+L*A(i+1)%n )个，求进行m轮游戏后，每个小孩有多少个苹果。（0<=m<=10^9,结果模M后输出，1<=M<=10^6）！注意原题目的公式是错的，害的我郁闷了好久～真的 faint！

思路分析：

这些都属于 循环同构的矩阵 计算的一个巧妙的算法就是，只算第一行，然后接下来的只要平移一个单位到下面，然后复制！

做这种题目还是要首先构造出一个矩阵 模拟他的递归过程！

我这里构造的矩阵是：

1 L ....  R

R 1 L..  0

0 R 1 L..0

L..... 0 R 1

然后递归多少次，我只要把这个矩阵乘多少次就可以了，这样做的高效远远优于递归的!

代码：

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#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using
namespace

std;
struct
M{
    int

s[101][101];
};
int

n,p,t;
struct
M tempt,unit,res;
//计算矩阵的幂的时候，因为我要计算的矩阵是
循环同构的
//所以只需要计算第一行，其他的N-1行只需要帮他上面一行的
//结果平移一个单位，然后再复制下来就OK啦！
struct
M multiply(struct M a,struct M b){
    struct
M c;
    int

i,j,k;
    for(i=1;i<=1;i++)
        for(j=1;j<=n;j++){
            c.s[i][j]=0;
            for(k=1;k<=n;k++){
                if(a.s[i][k]&&b.s[k][j])
                    c.s[i][j]=(c.s[i][j]+(a.s[i][k]*b.s[k][j])%p)%p;
            }  
        }
    for(i=2;i<=n;i++){
        c.s[i][1]=c.s[i-1][n];
        for(j=2;j<=n;j++)
            c.s[i][j]=c.s[i-1][j-1];
    }
    return

c;
}
struct
M multiply2(struct M a,struct M b){
    struct
M c;
    int

i,j,k;
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=1;j++){
            c.s[i][j]=0;
            for(k=1;k<=n;k++){
                if(a.s[i][k]&&b.s[k][j])
                    c.s[i][j]=(c.s[i][j]+(a.s[i][k]*b.s[k][j])%p)%p;
            }  
        }
    return

c;
}
 
void

paw(){
    struct
M ans=unit;
    int

i,j;
    struct
M a=tempt;
    while(t){
        if(t%2==1)
            ans=multiply(ans,a);                   
        a=multiply(a,a);
        t/=2;
    }
    res=multiply2(ans,res);
}
int

main(){
    int

cas,l,r,i,j;
    int

sim[102];
    memset(unit.s,0,sizeof(unit.s));
    for(i=1;i<=100;i++)
        unit.s[i][i]=1;
    cin>>cas;
    while(cas--){
        memset(res.s,0,sizeof(res.s));
        memset(tempt.s,0,sizeof(tempt.s));
        scanf("%d
%d %d %d %d",&n,&t,&r,&l,&p);
        for(i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d",∼[i]);
        for(j=1,i=n;i>=1;j++,i--){
            res.s[j][1]=sim[i];
        }
        tempt.s[1][1]=1;   
tempt.s[1][2]=l;
        tempt.s[1][n]=r;
        for(i=2;i<=n;i++){
            tempt.s[i][1]=tempt.s[i-1][n];
            for(j=2;j<=n;j++)
                tempt.s[i][j]=tempt.s[i-1][j-1];
        }
        paw();
        for(i=n;i>1;i--)
            printf("%d
",res.s[i][1]);
        printf("%d",res.s[i][1]);
        printf("\n\n");
    }
}

 

HDU (2276 Kiki & Little Kiki 2 )

284

Posted by: spoiler in: 十个利用矩阵乘法解决的经典题目

题目大意：题目大意给定一系列灯的初始状态，0代表暗，1代表亮，每一秒所有的灯都有可能发生状态切换，

切换规则：当前灯的左边第一个灯是亮的，则当前的灯切换状态，如果当前灯的左边第一盏灯是暗的，则当前灯的状态无需变化！

注意：最左边的参考左右边那栈灯。

题目分析;

首先有两种情况：

左边第一盏灯亮的：

                              当前灯的动作:     1->0;    0->1;

左边第一盏灯暗的：

                               当前灯的动作：

                                                    1->1;      0->0;

我们可以看到的是， 可以用一个方程来模拟这个过程： F[i] = ( f [ i] +f [i+n-2]%n+1 )%2;

所以我们只要计算这个值就OK啦。

然后由于数据过大，开数组肯定会爆掉～

这里我们要想到的是 矩阵是一个模拟递归的高效算法

这里我们要构造一个 可以计算如上的方程的矩阵：

              1 0 0...0 1

              1 1 0...0 0

             0 1 1..0 0

             0 0 1..0 0

            . . . 0 ....

           . . .0.....

           0 0 0..0 1

然后再把f[n]...到f[1]构成一个矩阵和他相乘，正好就是达到了表达式的效果。如果还有不懂的那请您留言，我这里画图不方便悲剧的很

代码+部分注释：

 

HDU 1757（A Simple Math Problem）

274

Posted by: spoiler in: 十个利用矩阵乘法解决的经典题目

题目分析：

Problem Description
Lele now is thinking about a simple function f(x).

If x < 10 f(x) = x.
If x >= 10 f(x) = a0 * f(x-1) + a1 * f(x-2) + a2 * f(x-3) + …… + a9 * f(x-10);
And ai(0<=i<=9) can only be 0 or 1 .

Now, I will give a0 ~ a9 and two positive integers k and m ,and could you help Lele to caculate f(k)%m.

 

Input
The problem contains mutiple test cases.Please process to the end of file.
In each case, there will be two lines.
In the first line , there are two positive integers k and m. ( k<2*10^9 , m < 10^5 )
In the second line , there are ten integers represent a0 ~ a9.
 

Output
For each case, output f(k) % m in one line.

这里就是构造一下矩阵 然后依然是矩阵的多次幂 我前面说的很详细，如果看的不清楚可以看我别的文章
构造一个矩阵
 


就求a^(t-9)*b
代码：

 

HDU （1575 Tr A）

264

Posted by: spoiler in: 十个利用矩阵乘法解决的经典题目

题目分析：Tr A表示方阵A的迹（主对角线元素之和），求Tr(Ak) % 9973。

由于k最大有10^9，所以只能用矩阵二分快速幂得到Ak，最后求和即可。

代码：

 

HDU （2855 Fibonacci Check-up）

264

Posted by: spoiler in: 十个利用矩阵乘法解决的经典题目

题目大意：

这个是组合数，然后求给定N,P让你求$$\sum_{k=0}^{n}{C_n^k}{f[k]}$$mod
p的值是多少

题目分析：

第一种方法：这里我引用一种常见的母函数：

（a+1）^n=$${C_n^0}$$+$${C_n^1}$$*a^1+$${C_n^2}$$*a^2+....+$${C_n^n}$$*a^n;

这里我可以知道fibonacci数可以用mitrax=$$\begin{bmatrix}1 & 1\\1 & 0\end{bmatrix}$$的乘积表示，f[i]=mitrax^i;

这里我们的“1”可以用$$\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}$$表示
即单位矩阵，这样我们只要求两个矩阵的的 i 次幂就可以了，这就直接转换到矩阵的二分法求快速幂上来了！注意一点，最后输出的[1][2]这个位置的数，别输出错了！

第二种方法：

$$\sum_{k=0}^{n}{C_n^k}{f[k]}$$最后证明结论等于：$$\sum_{k=0}^{n}{C_n^k}{f[k]}$$= 
F[ 2* N ]

引进fibonacci数的计算方程：

$$\sum_{k=0}^{n}{C_n^k}{f[k]}$$={$$\sum_{k=0}^{n}{C_n^k}$$*($$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$)^k
-($$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$)^k}

因为：

（a+1）^n=$$\sum_{k=0}^{n}{C_n^k}$$*a^k;

所以将上式化简成：

$$\sum_{k=0}^{n}{C_n^k}{f[k]}$$=（$$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$$）^n+($$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$)^n

                  分子分母都乘*2    =($$\frac{6+2*\sqrt{5}}{4}$$)^n+($$\frac{6-2*\sqrt{5}}{4}$$)^n

                                         =($$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$)^2n+($$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$)^2n

                                         =F[ 2*N ]

我的代码是第一种的：

文章总结：（a+1）^n=$$\sum_{k=0}^{n}{C_n^k}$$*a^k;这个母函数很好用
下次记得灵活运用！

HDU 3117（ Fibonacci Numbers 十大经典之二 ：矩阵快速幂的应用）

264

Posted by: spoiler in: 十个利用矩阵乘法解决的经典题目

题目大意：求

Fibonacci Numbers如果位数低于8位，则全部输出，否则只输出

前4位与后4位（注意后四位的0别忘记了，不过是什么格式，哪怕

0000都要输出）；

题目分析：这里我们上一篇文章以前具体阐述了：

给定矩阵A，请快速计算出A^n（n个A相乘）的结果，输出的每个数都mod p。
由 于矩阵乘法具有结合律，因此A^4 = A * A * A * A = (A*A) * (A*A) = A^2 * A^2。我们可以得到这样的结论：当n为偶数时，A^n = A^(n/2) * A^(n/2)；当n为奇数时，A^n = A^(n/2) * A^(n/2) * A （其中n/2取整）。这就告诉我们，计算A^n也可以使用二分快速求幂的方法。例如，为了算出A^25的值，我们只需要递归地计算出A^12、A^6、 A^3的值即可。根据这里的一些结果，我们可以在计算过程中不断取模，避免高精度运算。

然后我们以前有一篇文章已经阐述了，如果利用取对数求第N个fibonacci数的前4位有效数字；如果不清楚的话 请看我以前的一篇文章

“HDU 1568（非常经典微妙的 斐波纳契计算）“

代码：


 

”

POJ 3070(Fibonacci )

264

Posted by: spoiler in: 十个利用矩阵乘法解决的经典题目

题目分析：

经典题目6 给定n和p，求第n个Fibonacci数mod p的值，n不超过2^31
根 据前面的一些思路，现在我们需要构造一个2 x 2的矩阵，使得它乘以(a,b)得到的结果是(b,a+b)。每多乘一次这个矩阵，这两个数就会多迭代一次。那么，我们把这个2 x 2的矩阵自乘n次，再乘以(0,1)就可以得到第n个Fibonacci数了。不用多想，这个2 x 2的矩阵很容易构造出来：

但是我这里稍微有点区别的是，我是构造：$$\begin{pmatrix}1 & 1\\1 &0\end{pmatrix}$$ 
其实这里$$\begin{pmatrix}1 & 1\\1 &0\end{pmatrix}$$*$$\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$$=$$\begin{pmatrix}a+b\\b\end{pmatrix}$$

为了计算直观我把$$\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$$写成$$\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}$$都一样的
其实 呵呵

这里我们的$$\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$$=$$\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$$

然后我们用二分的方法求矩阵的快速幂！

这里建议大家用结构体传递矩阵 这样很好用的！

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#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using
namespace

std;
struct
M{
    int

s[5][5];
};
int

p=10000;
struct
M multiply(struct M a,struct M b){
    struct
M c;
    memset(c.s,0,sizeof(c.s));
    for(int

i=1;i<=2;i++)
        for(int

j=1;j<=2;j++)
            for(int

k=1;k<=2;k++)
                c.s[i][j]=(c.s[i][j]+
(a.s[i][k]*b.s[k][j])%p)%p;
    return

c;
}
struct
M paw(struct M a,int

t){
    if(t==1)
        return

a;
    else{
        struct
M c=paw(a,t/2);
        if(t&1){
            return

multiply(c,multiply(c,a));
        }
        else{
            return

multiply(c,c);
        }
    }
}
int

main(){
    int

n;
    struct
M a,d;
    a.s[1][1]=a.s[1][2]=a.s[2][1]=1;
    a.s[2][2]=0;
    d.s[1][1]=1;
    d.s[1][2]=0;
    d.s[2][1]=0;
    d.s[2][2]=1;
    while(scanf("%d",&n),n!=-1){
        if(n==0){
            printf("0\n");
            continue;
        }
        if(n==1||n==2){
            printf("1\n");
            continue;
        }
        struct
M k=paw(a,n-1);
        struct
M b=multiply(d,k);
        printf("%d\n",b.s[1][1]);
    }
}

 

POJ 3233( 3233 Matrix Power Series 矩阵的快速幂 )

254

Posted by: spoiler in: 十个利用矩阵乘法解决的经典题目

题目分析：

S = A + A2 + A3 + … + Ak.

求 S mod p;

我们要二分考虑

二分求$$A^k$$mod
p

首先把$$A^k$$转化成：

                     1） 如果k是偶数 ( $$A^{\frac{k}{2}}$$ mod
p ) * ( $$A^{\frac{k}{2}}$$ mod
p )这样就把就达到了降幂的作用

                      2）如果k是奇数 ( $$A^{\frac{k}{2}}$$ mod
p ) * ( $$A^{\frac{k}{2}}$$ mod
p )* ( A mod p)

然后再对求和的过程进行二分！

如果K是偶数我们把公式转换成 S=A + A2 + A3 + … + $$A^{\frac{k}{2}}$$+$$A^{\frac{k}{2}}$$*（A + A2 + A3 +
… + $$A^{\frac{k}{2}}$$）

如果K是奇数 则可以写成： S=A + A2 + A3 + … + $$A^{\frac{k}{2}+1}$$+$$A^{\frac{k}{2}+1}$$*（A + A2 + A3 +
… + $$A^{\frac{k}{2}}$$）

代码+部分注释：

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#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using
namespace

std;
struct
M{
    int

s[32][32];
};
int

n,p;
struct
M add(struct M a,struct M b){
    int

i,j;
    struct
M c;
    memset(c.s,0,sizeof(c.s));
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=n;j++)
            c.s[i][j]=(a.s[i][j]+b.s[i][j])%p;
    return

c;
}
struct
M multiply(struct M a,struct M b){
    int

i,j,k;
    struct
M c;
    memset(c.s,0,sizeof(c.s));
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=n;j++)
            for(k=1;k<=n;k++)
                c.s[i][j]=(c.s[i][j]+(a.s[i][k]*b.s[k][j])%p)%p;
    return

c;
}
struct
M paw(struct M a,int

t){
    struct
M b;
        memset(b.s,0,sizeof(b.s));
    if(t==0){
        for(int

i=1;i<=n;i++)
            b.s[i][i]=1;
        return

b;
    }
    else{
        struct
M k=paw(a,t/2);
        if(t&1){
            return

multiply(multiply(k,k),a);
        }
        else
            return

multiply(k,k);
    }
}
struct
M sum(struct M a,int

t){
    if(t==1){
        return

a;
    }
    else{
        struct
M tempt=sum(a,t/2);
        if(t&1){
            struct
M k=paw(a,t/2+1);
            return

add(add(tempt,k),multiply(tempt,k));
        }
        else{
            return

add(tempt,multiply(tempt,paw(a,t/2)));
        }
    }
}
int

main(){
    int

k,i,j;
    struct
M a;
    cin>>n>>k>>p;
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=n;j++){
            scanf("%d",&a.s[i][j]);
            a.s[i][j]%=p;
        }
    struct
M tempt=sum(a,k);
    for(i=1;i<=n;i++){
        for(j=1;j<n;j++){
              cout<<tempt.s[i][j]<<"
";
        }
        printf("%d\n",tempt.s[i][j]);
    }
    return

0;
}

 

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