ZJU2004 Commedia dell'arte 八数码问题有解的条件及其推广
题目描述：
此题是经典的八数码问题的推广。一个M×M×M的立方体，原始状态一次给方块编号1 ~ M^3-1，最后一个格子空缺。现在给定任意一个方块的排列，问能否通过合法变换回到原始状态。
解题思路：
题目要求一个三维空间的N数码问题，问是否有解。我们先从简单的情况考虑。
>从八数码问题入手
我们首先从经典的八数码问题入手，即对于八数码问题的任意一个排列是否有解？有解的条件是什么？
我在网上搜了半天，找到一个十分简洁的结论。八数码问题原始状态如下：
1 2 3
4 5 6
7 8
为了方便讨论，我们把它写成一维的形式，并以0代替空格位置。那么表示如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 0
通过实验得知，以下状态是无解的（交换了前两个数字1 2）：
2 1 3 4 5 6 7 8 0
八数码问题的有解无解的结论：
一个状态表示成一维的形式，求出除0之外所有数字的逆序数之和，也就是每个数字前面比它大的数字的个数的和，称为这个状态的逆序。
若两个状态的逆序奇偶性相同，则可相互到达，否则不可相互到达。
由于原始状态的逆序为0（偶数），则逆序为偶数的状态有解。
也就是说，逆序的奇偶将所有的状态分为了两个等价类，同一个等价类中的状态都可相互到达。
简要说明一下：当左右移动空格时，逆序不变。当上下移动空格时，相当于将一个数字向前（或向后）移动两格，跳过的这两个数字要么都比它大（小），逆序可能±2；要么一个较大一个较小，逆序不变。所以可得结论：只要是相互可达的两个状态，它们的逆序奇偶性相同。我想半天只能说明这个结论的必要性，详细的证明请参考后面的附件。
>推广二维N×N的棋盘
我们先来看看4×4的情况，同样的思路，我们考虑移动空格时逆序的变化情况。
1 2 3 4
5 6 7 8
9 A B C
D E F
我们用字母A~F代替数字10~15。同样地，当左右移动的时候，状态的逆序不改变。而当上下移动的时候，相当于一个数字跨过了另外三个格子，它的逆序可能±3或±1，逆序的奇偶性必然改变。那么又该如何
1 2 3 4
5 6 7 8
9 A B
C D E F
可以证明，以上状态是一个无解的状态（将C移到了第四行）。该状态的逆序为0，和原始状态相同，但是它的空格位置在第三行。若将空格移到第四行，必然使得它的逆序±1或±3，奇偶性必然改变。所以它是一个无解的状态。
然而以下状态就是一个有解的状态（交换了前两个数字1 2）：
2 1 3 4
5 6 7 8
9 A B
C D E F
这个状态的逆序为1，和原始状态奇偶性不同，而空格位置在第三行。由于空格每从第三行移动到第四行，奇偶性改变。则该状态的可到达原始状态。
通过观察，得出以下结论：
N×N的棋盘，N为奇数时，与八数码问题相同。
N为偶数时，空格每上下移动一次，奇偶性改变。称空格位置所在的行到目标空格所在的行步数为空格的距离（不计左右距离），若两个状态的可相互到达，则有，两个状态的逆序奇偶性相同且空格距离为偶数，或者，逆序奇偶性不同且空格距离为奇数数。否则不能。
也就是说，当此表达式成立时，两个状态可相互到达：(状态1奇偶性==状态2奇偶性)==(空格距离%2==0)。
此结论只是由观察得知的，但是还没证明过，请高手指点。
另外再详细说明一下，无论N是奇数还是偶数，空格上下移动，相当于跨过N-1个格子。那么逆序的改变可能为一下值±N-1，±N-3，±N-5 …… ±N-2k-1。当N为奇数数时N-1为偶数，逆序改变可能为0；当N为偶数时N-1为奇数，逆序的改变不能为0，只能是奇数，所以没上下移动一次奇偶性必然改变。
>推广到三维N×N×N
其实，三维的结论和二维的结论是一样的。
考虑左右移动空格，逆序不变；同一层上下移动空格，跨过N-1个格子；上下层移动空格，跨过N^2-1个格子。
当N为奇数时，N-1和N^2-1均为偶数，也就是任意移动空格逆序奇偶性不变。那么逆序奇偶性相同的两个状态可相互到达。
当N为偶数时，N-1和N^2-1均为奇数，也就是令空格位置到目标状态空格位置的y z方向的距离之和，称为空格距离。若空格距离为偶数，两个逆序奇偶性相同的状态可相互到达；若空格距离为奇数，两个逆序奇偶性不同的状态可相互到达。
讨论到这里，题目问题也就解决了。
>解决题目
有了以上结论，解决题目就简单了。
统计出状态的逆序和空格距离，然后判断即可。
2007-12-27 22:40:20 00:00.46 4416K C++ Tiaotiao
用此方法程序运行时间0.46s，排名15。在我之前的运行时间都在0.1秒以下。也许此题还有更加优美的判定方法，期待知道朋友请过来吼一声～
参考资料：
水木清华BBS精华区： 关于八码数问题有解与无解的证明 http://www.cnw3.org/smth/AI/5/8/00000001.htm
豆瓣网BBS ：http://www.douban.com/group/topic/1724083/
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附： 关于八码数问题有解与无解的证明
转载自【水木清华BBS精华区】：http://www.cnw3.org/smth/AI/5/8/00000001.htm
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发信人: YourMajesty (花痴~~~~小魔男), 信区: AI
标 题: 关于八码数问题有解与无解的证明(zz)
发信站: BBS 水木清华站 (Fri Nov 23 22:26:49 2001)
8数码难题搜索时，有时候是无解的，8数码问题总共有9!种状态，如果用计算机一
个一个去搜索去判断哪些有解哪些误解，无疑要花费很长的时间，也没必要。作为一种
智力游戏，玩之余，我在想，能否通过事先的分析来判断哪些问题有解，哪些问题无解
呢？对于有解的问题，是否能通过一种固定的步骤来得到解？经过昨天晚上和今天的仔
细分析，我觉得我已经得到了这个问题的初步解答，下面我公布一下我得到的结果和证
明，抛砖引玉，如果大家发现其中有什么问题，欢迎来我宿舍一起讨论或者给我发Emai
l。
我的证明分好几个步骤，恳请大家能够耐心的看下去，我会尽量说得简洁一点。
一、我的结论
我们将九宫格按行排成一行共九个数(空格也占一个位置，在本文种，我用@表示空
格)。比如： 1 2 3 4 @ 5 ＝> 1 2 3 4 @ 5 6 7 8 6 7 8 这样
，九宫格的每一种状态和上图的行之间是一一对应的。在代数上册我们学过逆序的概念
，也就是对于任意一对数，如果前面的数比后面的数大，则为一对逆序。对于一个序列
，我们定义其逆序奇偶性如下： 如果其中有奇数对逆序，称之逆序奇；如果其中有
偶数对逆序，称之为逆序偶。这样，对于1，2，...，n这n个数，其所有的排列可以分为
两类，逆序奇类和逆序偶类。相对应的，九宫图(除去空格)也有它的奇偶性，我们的定
理是：
所有的奇九宫图之间是可达的，所有的偶九宫图之间也是可达的，但奇九宫图和偶
九宫图之间互不可达。
二、问题的转化
为了证明上述定理，我想先对问题进行一下转化。我定义两种行序列的变换：一种
是空格@和相邻的数对换，一种是空格@和前后隔两个数的数之间的对换，前者对应着空
格在九宫图中的左右移动，后者对应着空格在九宫图中的上下移动。
引理一：在上述的两种对换下，序列的奇偶性不改变。 这个引理很容易证明。
首先，相邻的对换肯定不改变奇偶性；其次，隔两格的对换也不改变奇偶性，它相当于
三个数的轮换，我们可以自己列举一下几种情况验证一下。这就说明了奇九宫图和偶九
宫图之间是互不可达的。
引理二：转化后行序列在上面定义的两种对换下的任意操作，可以转换成九宫图中
空格的合法变化。 这个引理也是比较容易证明的。我们只要证明如下的几种状态之
间是互达的： a b c a b @ a b c a b c @ d e <=>
c d e d e f <=> d e @ f g h f g h @ g h f
g h 通过计算机搜索，可以发现上面两对状态之间的确是互达的。从而，我们可以
假定上面两种状态之间的转换可以用行序列中的两种邻对换来代替。
想提一点的是，九宫图之间的变换是可逆的。下面，到了问题的核心部分了。
引理三：所有的奇状态可以转换为 @ 1 2 3 4 5 6 7 8, 所有的偶状态
可以转换为 @ 2 1 3 4 5 6 7 8. 要证明这个引理，得分几个步骤。我的想法是先设
法把8移到最后一个，然后8保持不动(注意，我们这里的不动只是形式上不动，但不管怎
样，我们的每一个变换后，8还是保持在最后一个，余类似)，再将7移到8之前，然后，
保持7和8不动，依次移动6，5，4，3，得到 * * * 3 4 5 6 7 8这里 * * *是 @ 1 2 的
一个排列。到这里，我想要得到前面的两种状态之一是显然的了。下面，我说明，上面
的想法是可以实现的。如下：
1. 对于 a b c @ ，我们可以将其中的任意一个移到
最后，并且对变换仅限于这四个位置上。显然，对于a，c是一步就可以做到的。对于b，
步骤如下： a b c @ -> @ b c a -> b @ c a -> b c @ a -> b c a @ -> @ c a b
2. 先把要移到最后位置的那个数移到最后四个位置之一，然后再将空格移到最后一
个位置，用1的方法将待移动的数变换到最后一个位置。循环这样做即可。 引理三证
毕。
证完了这三个引理，定理的成立就是显然的了。首先，将奇偶性相同的两种状态都
变换到上述两种标准状态之一，然后对其一去逆变换即可。以上是我的所有证明，有些
地方在计算机上写起来不是太清楚。
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