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1. 求解模线性方程

费马小定理：设a,p为正整数，且p为素数，(p,a)=1,那么a^(p-1)≡1 (mod p)
剩余类：对于整数a及模m，则集合A={x|x≡a(mod m)}称为模m关于a的一个剩余类
简化剩余系：设m为正整数，在与m互质的所有剩余类中，每一个类中取一个数，构成一个集合X，则X称为模m的一个简化剩余系。

模线性方程ax≡b(mod m)的解：
化为ax+my=b
(1) 求d=gcd(a,m)
(2) 若d是b的因数，继续(3)。否则无解
(3) 求ax0+my0=d
(4) x=x0*b/d; y=y0*a/d;
(5) x=(x+k*m/d) (mod m) 所以x一共有d个值，分别为k取0,1,2,3~d-1

2. 求 mod m的逆元

对于整数a,m,如果存在整数b,满足ab≡1(mod m),那么称b是a的模m乘法逆元。
要有解，当且仅当gcd(a,m)=1


例题：输入a,m，求相应的乘法逆元，若不存在，输出0
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<map>
#include<queue>
#include<stack>
#include<vector>
#include<ctype.h>
#include<algorithm>
#include<string>
#define PI acos(-1.0)
using namespace std;
long long a,m,d,x,y;
long long ex_gcd(long long a, long long b, long long &d, long long &x, long long &y)
{
    if (!b)
    {
        x=1;
        y=0;
        d=a;
    }
    else
    {
        ex_gcd(b,a%b,d,y,x);
        y-=(a/b)*x;
    }
}
int main ()
{
    while(cin>>a>>m)
    {
        if (a==m && a==0) break;
        ex_gcd(a,m,d,x,y);
        if (d==1)
        {
            x=(x%m+m)%m;
            cout<<x<<endl;
        }
        else cout<<0<<endl;
    }
    return 0;
}

3. 模线性方程组与中国剩余定理

中国剩余定理
有以下一组模线性方程，求x
x≡b1(mod m1)
x≡b2(mod m2)
    .
    .
    .
x≡bn(mod mn)
解为：x0≡(b1*M1*y1+b2*M2*y2+……+bn*Mn*yn) mod m 其中Mi=(m1*m2*m3*……*mn)/mi。而Mi*yi≡1(mod mi)
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<map>
#include<queue>
#include<stack>
#include<vector>
#include<ctype.h>
#include<algorithm>
#include<string>
#define PI acos(-1.0)
using namespace std;
long long m[100],b[100],n;
long long d,x,y;
void ex_gcd(long long a, long long b, long long &d, long long &x, long long &y)
{
    if (!b)
    {
        d=a;
        x=1;
        y=0;
    }
    else
    {
        ex_gcd(b,a%b,d,y,x);
        y-=(a/b)*x;
    }
}
long long chinaR()
{
    long long mm=1,a=0;
    int i;
    for (i=0; i<n; i++)
        mm*=m[i];
    for (i=0; i<n; i++)
    {
        long long M=mm/m[i];
        ex_gcd(M,m[i],d,x,y);
        a=(a+(x%mm)*M*b[i])%mm;
    }
    return (a%mm+mm)%mm;
}
int main ()
{
    while(cin>>n)
    {
        if (!n) break;
        for (int i=0; i<n; i++)
            cin>>m[i]>>b[i];
        long long a=chinaR();
        cout<<a<<endl;
    }
    return 0;
}