题目类型 四边形不等式优化DP
题目意思
给出 n (1 <= n <= 1000) 个横坐标不断增大纵坐标不断减小的点的坐标 问用向上的直线或向右的直线把这些点连起来的代价最小是多少
解题方法
很容易得出朴素的dp转移方程
dp[i][j] = Min( dp[i][k] + dp[k+1][j] + (Node[k+1].x - Node[i].x) + (Node[k].y - Node[j].y) ) (其中 i <= k < j)
(dp[i][j] 表示把 i->j这些点连起来的最小代价 Node[i].x与Node[i].y 分别表示第 i 个点的横坐标与纵坐标)
这样算法的复杂度是 O(n^3) 所以需要优化 DP加速之四边形不等式 优化后的时间复杂度为 O(n^2)
参考代码 - 有疑问的地方在下方留言 看到会尽快回复的
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int maxn = 1000 + 10;
const int INF = 1<<29;
int x[maxn], y[maxn], dp[maxn][maxn], s[maxn][maxn]; //dp[i][j]表示把第i个点到第j个点连起来的最小代价 s[i][j] 表示把第i个点到第j个点连起来达到最小代价中间用的是哪个点
int main() {
freopen("in", "r", stdin);
int n;
while(scanf("%d", &n) != EOF) {
for( int i=1; i<=n; i++ ) for( int j=1; j<=n; j++ ) dp[i][j] = INF;
for( int i=1; i<=n; i++ ) {
scanf("%d%d", &x[i], &y[i]);
dp[i][i] = 0;
s[i][i] = i;
}
for( int len=1; len<=n-1; len++ ) { //计算间隔为 len 的点对的值, 从小到大枚举保证下面状态转移方程中用到的某些两点间隔更小的值已经求出来
for( int i=1; i<=n; i++ ) { // i 为枚举点对的左端点 j=i+len 为右端点
int j = i + len;
for( int k=s[i][j-1]; k<=s[i+1][j]&&k<j; k++ ) { // 通过缩小枚举范围达到优化目的
int tmp = dp[i][k] + dp[k+1][j] + x[k+1] - x[i] + y[k] - y[j];
if(dp[i][j] > tmp) {
s[i][j] = k; //更新s[i][j]的值
dp[i][j] = tmp;
}
}
}
}
printf("%d\n", dp[1][n]);
}
return 0;
}