一、问题描述

输入一个整形数组，数组里可以有正数或负数。数组中连续的一个或多个整数组成一个子数组，每个子数组都有一个和。求所有子数组的和的最大值。要求时间复杂度为O(n)。

       例如输入的数组为1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5，和最大的子数组为3, 10, -4, 7, 2，因此输出为该子数组的和18。

第一次遇到这道题是参加x迅的笔试。题目中给出了两种解法，让填空。

二、简单解

拿到这道题，如果不考虑性能和复杂度，最简单的方法就是穷举。穷举出所有的子数组，并求出他们的和，返回最大值。不过，复杂度为O(n3)，不符合题目的要求（复杂度On）

int max_sum(int *arr, int len){
	int max, sum;

	for(int i = 0; i < len; i++) {
		for(int j = i; j < len; j++) {
			sum = 0;
			for(int k = i; k <= j; k++) {
				sum = sum + arr[k];
				if(sum > max) {
					max = sum;
				}
			}
		}
	}

	if(max == 0) {
		return max(arr, len);
	}
	return max;
}

三、复杂度为N2的解

观察上面的代码，我们使用了3个for循环。其中最内侧的for循环主要是控制每个字序列的长度，由于我们在计算的过程中，已经保存了当前最大字序列和，字序列的长度N对我们来说意义不大，因此完全可以撤消最内侧的循环。只按每个字序列起始位置来计算最大和。这样得到一个复杂度为N2的解。

int max_sum2(int *arr, int len){
	int sum, max = 0;

	for(int i = 0; i < len; i++) {
		sum = 0;
		for(int j = i; j < len; j++) {
			sum = sum + arr[j];
			if(max < sum) {
				max = sum;
			}
		}
	}

	if(max == 0) {
		return max(arr, len);
	}
	
	return max;
}

四、更低复杂度的探索

if max_sum[i] > 0  
then  
       if arr[i+1] > 0  
       then max_sum[i+1] = max_sum[i] + arr[i+1];  
else  
       max_sum[i+1] = max(0, arr[i+1]) 

int max_sum3(int *arr, int len) {
	int sum, max;

	max = sum = 0;
	for(int i = 0; i < len; i++) {
		sum += arr[i];
		if(sum < 0) {
			sum = 0;
		}

		if(sum > max){
			max = sum;
		}
	}

	if(max == 0) {
		return max(arr, len);
	}
	return max;
}