学步园

【问题描述】
帅帅经常跟同学玩一个矩阵取数游戏：对于一个给定的n*m 的矩阵，矩阵中的每个元素aij均
为非负整数。游戏规则如下：
1. 每次取数时须从每行各取走一个元素，共n个。m次后取完矩阵所有元素；
2. 每次取走的各个元素只能是该元素所在行的行首或行尾；
3. 每次取数都有一个得分值，为每行取数的得分之和，每行取数的得分= 被取走的元素值*2i，
其中i 表示第i 次取数（从1 开始编号）；
4. 游戏结束总得分为m次取数得分之和。
帅帅想请你帮忙写一个程序，对于任意矩阵，可以求出取数后的最大得分。

第1行为两个用空格隔开的整数n和m。
第2~n+1 行为n*m矩阵，其中每行有m个用单个空格隔开的非负整数。

输出 仅包含1 行，为一个整数，即输入矩阵取数后的最大得分。

2 3
1 2 3
3 4 2

82

样例解释

第 1 次：第1 行取行首元素，第2 行取行尾元素，本次得分为1*21+2*21=6
第2 次：两行均取行首元素，本次得分为2*22+3*22=20
第3 次：得分为3*23+4*23=56。总得分为6+20+56=82

 

【限制】
60%的数据满足：1<=n, m<=30, 答案不超过1016
100%的数据满足：1<=n, m<=80, 0<=aij<=1000

题解：

对于n行输入，各行之间的独立的，只需要找到各行的最大值即可。它们的和即为所求。

对于输入的任一行a[m]，第x次取数的状态转移为：

dp[i][j] = max{dp[i+1][j]+a[i]*2^x, dp[i][j-1]+a[j]*2^x};

dp[i][j]表示每行第i到j个数可得到的最大值。

#include<iostream>
#include<memory.h>
#include<stdio.h>
using namespace std;
int n,m,a[81];
int f[81][81][31];
int ys[81][31];
int ans[31];
int c[31];
void mul(int *x,int *y,int z){
    memset(c,0,sizeof(c));
    c[0]=y[0];
    for(int i=1;i<=c[0];++i)
        c[i]=y[i]*z;
    for(int i=1;i<=c[0];++i){
        c[i+1]+=c[i]/100000;
        c[i]%=100000;
    }
    while(c[c[0]+1]){
        c[0]++;
        c[c[0]+1]+=c[c[0]]/100000;
        c[c[0]]%=100000;
    }
    for(int i=0;i<=30;++i) x[i]=c[i];
}
void add(int *x,int *y,int *z){
    memset(c,0,sizeof(c));
    if(y[0]>z[0]) c[0]=y[0];
    else c[0]=z[0];
    for(int i=1;i<=c[0];++i)
        c[i]=y[i]+z[i];
    for(int i=1;i<=c[0];++i){
        c[i+1]+=c[i]/100000;
        c[i]%=100000;
    }
    if(c[c[0]+1]) c[0]++;
    for(int i=0;i<=30;++i) x[i]=c[i];
}
bool MAX(int *x,int *y){
    if(x[0]>y[0]) return 1;
    else if(y[0]>x[0]) return 0;
    else{
        for(int i=x[0];i>=1;--i)
        if(x[i]>y[i]) return 1;
        else if(y[i]>x[i]) return 0;
    }
    return 1;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    ys[0][0]=1; ys[0][1]=1;
    for(int i=1;i<=m;++i)
        mul(ys[i],ys[i-1],2);
    ans[0]=1; ans[1]=0;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        for(int j=1;j<=m;++j){
            scanf("%d",&a[j]);
            mul(f[j][j],ys[m],a[j]);
        }
        for(int k=2;k<=m;++k)
            for(int lx=1;lx<=m-k+1;++lx){
                int ly=lx+k-1,ll;
                int xm[31],ym[31],cm[31];
                ll=ly;
                mul(cm,ys[m-k+1],a[lx]);
                ly=ll;//不记录一下ly会莫名的变成0，xm的值也是一样。???
                add(xm,cm,f[lx+1][ly]);
                mul(ym,ys[m-k+1],a[ly]);
                add(ym,ym,f[lx][ly-1]);
                if(MAX(xm,ym))
                    memcpy(f[lx][ly],xm,sizeof(int)*31);
                else
                    memcpy(f[lx][ly],ym,sizeof(int)*31);
            }
        add(ans,ans,f[1][m]);
    }
    printf("%d",ans[ans[0]]);
    for(int i=ans[0]-1;i>=1;--i) printf("%05d",ans[i]);
    printf("\n");
    return 0;
}

其中的高精度乘法和加法部分，采用int数组，每个数最大100000-1，相当于100000进制，节省空间。

参考：http://blog.sina.com.cn/s/blog_5ef211b10100cr25.html

修改了其中的一些小问题。