求强连通分量的Tarjan算法

      说到以Tarjan命名的算法，我们经常提到的有3个，其中就包括本文所介绍的求强连通分量的Tarjan算法。而提出此算法的普林斯顿大学的Robert E Tarjan教授也是1986年的图灵奖获得者（具体原因请看本博“历届图灵奖得主”一文）。

      首先明确几个概念。

1. 强连通图。在一个强连通图中，任意两个点都通过一定路径互相连通。比如图一是一个强连通图，而图二不是。因为没有一条路使得点4到达点1、2或3。
2. 强连通分量。在一个非强连通图中极大的强连通子图就是该图的强连通分量。比如图三中子图{1,2,3,5}是一个强连通分量，子图{4}是一个强连通分量。

      关于Tarjan算法的伪代码和流程演示请到我的115网盘下载网上某大牛写的Doc（地址：http://u.115.com/file/f96af404d2<Tarjan算法.doc>）本文着重从另外一个角度，也就是针对tarjan的操作规则来讲解这个算法。

      其实，tarjan算法的基础是DFS。我们准备两个数组Low和Dfn。Low数组是一个标记数组，记录该点所在的强连通子图所在搜索子树的根节点的Dfn值（很绕嘴，往下看你就会明白），Dfn数组记录搜索到该点的时间，也就是第几个搜索这个点的。根据以下几条规则，经过搜索遍历该图（无需回溯）和对栈的操作，我们就可以得到该有向图的强连通分量。

1. 数组的初始化：当首次搜索到点p时，Dfn与Low数组的值都为到该点的时间。
2. 堆栈：每搜索到一个点，将它压入栈顶。
3. 当点p有与点p’相连时，如果此时（时间为dfn[p]时）p’不在栈中，p的low值为两点的low值中较小的一个。
4. 当点p有与点p’相连时，如果此时（时间为dfn[p]时）p’在栈中，p的low值为p的low值和p’的dfn值中较小的一个。
5. 每当搜索到一个点经过以上操作后（也就是子树已经全部遍历）的low值等于dfn值，则将它以及在它之上的元素弹出栈。这些出栈的元素组成一个强连通分量。
6. 继续搜索（或许会更换搜索的起点，因为整个有向图可能分为两个不连通的部分），直到所有点被遍历。

      由于每个顶点只访问过一次，每条边也只访问过一次，我们就可以在O（n+m）的时间内求出有向图的强连通分量。但是，这么做的原因是什么呢？

      Tarjan算法的操作原理如下：

1. Tarjan算法基于定理：在任何深度优先搜索中，同一强连通分量内的所有顶点均在同一棵深度优先搜索树中。也就是说，强连通分量一定是有向图的某个深搜树子树。
2. 可以证明，当一个点既是强连通子图Ⅰ中的点，又是强连通子图Ⅱ中的点，则它是强连通子图Ⅰ∪Ⅱ中的点。
3. 这样，我们用low值记录该点所在强连通子图对应的搜索子树的根节点的Dfn值。注意，该子树中的元素在栈中一定是相邻的，且根节点在栈中一定位于所有子树元素的最下方。
4. 强连通分量是由若干个环组成的。所以，当有环形成时（也就是搜索的下一个点已在栈中），我们将这一条路径的low值统一，即这条路径上的点属于同一个强连通分量。
5. 如果遍历完整个搜索树后某个点的dfn值等于low值，则它是该搜索子树的根。这时，它以上（包括它自己）一直到栈顶的所有元素组成一个强连通分量。

参考代码：

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program tarjan;   var     v,f:array[1..100]of boolean;     dfn,low:array[1..100]of integer;     a:array[0..100,0..100]of integer;  //边表     i,j,n,m,x,y,deep,d:integer;     stack,ln:array[1..100]of integer;   function min(x,y:longint):integer;     begin       if x>y then exit(y)         else exit(x);     end;   procedure print(x:integer);  //出栈，打印     begin       while stack[deep]<>x do         begin           write(stack[deep],' ');           f[stack[deep]]:=false;           dec(deep);         end;       writeln(stack[deep]);       f[stack[deep]]:=false;  //去除入栈标记       dec(deep);     end;   procedure dfs(x:integer);     var       i:integer;     begin       inc(d);  //时间       dfn[x]:=d;  //规则1       low[x]:=d;       inc(deep);  //栈中元素个数       stack[deep]:=x;  //规则2       f[x]:=true;       for i:=1 to a[x,0] do         if not v[a[x,i]] then           begin             v[a[x,i]]:=true;             dfs(a[x,i]);             low[x]:=min(low[a[x,i]],low[x]);  //规则3           end           else if f[a[x,i]] then                  low[x]:=min(low[x],dfn[a[x,i]]);  //规则4         if dfn[x]=low[x] then  //规则5           print(x);     end;   begin     readln(n,m);     fillchar(a,sizeof(a),0);     for i:=1 to m do       begin         readln(x,y);  //读入图         inc(a[x,0]);         a[x,a[x,0]]:=y;       end;     for i:=1 to n do       if not v[i] then         begin           v[i]:=true;           dfs(i);  //更换起点，规则6         end;   end.