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给定一个N*N的矩阵，计算最大子矩阵和。

思路：

最大子段和问题可以用动态规划在O(n)内解决，该题可以借助最大子段和的解法来做。我们考虑第i行到第j行的子矩阵，可以将i ~ j行的矩阵合并为一个一维数组，即把每列对应的数相加，那么这个一维数组的最大子段和就是原子矩阵的最大和。

我们用一个二维数组p来保存矩阵的部分和，p[i][j]表示左上角是(1, 1)，(下标从1开始)， 右下角是(i, j)的矩阵中元素的和。如果我们要求i~j行、k~m列的矩阵中元素的和，我们可以通过以下式子计算得出：

sum = p[j][m] - p[j][k-1] - p[i-1][m] + p[i-1][k-1]

只需要O(1)的时间。

部分和p[i][j]要怎么计算呢？我们可以通过更小的部分和来计算得到它：

p[i][j] = p[i-1][j] + p[i][j-1] - p[i-1][j-1] + a[i][j]

其中a[i][j]是矩阵中的整数。我们只需要O(n² ) 的时间即可预处理得到所有的部分和。

所以总的时间为O(n³ )。

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

const int N = 101;
int a[N][N], p[N][N];

int MaxRecSum(int n)
{
	for (int i = 0; i <= n; ++i)
	{
		p[i][0] = 0;
		p[0][i] = 0;
	}	
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		for (int j = 1; j <= n; ++j)
			p[i][j] = p[i-1][j] + p[i][j-1] - p[i-1][j-1] + a[i][j];
	}

	int max = INT_MIN;
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		for (int j = i; j <= n; ++j)
		{
			int sum = 0;
			for (int k = 1; k <= n; ++k)
			{
				int temp = p[j][k] - p[j][k-1] - p[i-1][k] + p[i-1][k-1];
				if (sum > 0)
					sum += temp;
				else
					sum = temp;
				if (sum > max)
					max = sum;
			}
		}
	}
	return max;
}

int main()
{
	int n = 4;
	int num;
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		for (int j = 1; j <= n; ++j)
		{
			cin >> num;
			a[i][j] = num;
		}
	}

	cout << MaxRecSum(n) << endl;
	return 0;
}