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预备知识

1、由于整个工程只有一个开始点，一个结束点，故在正常情况下（无环），网中只有一个入度为0的点和一个出度为0的点。

2、与AOV网不同，AOE网中有些活动可以并行的进行，所以完成工程的最短时间是从开始点到完成点的最长路径的长度。路径长度最长的路径叫做关键路径。

由于在严蔚敏的《数据结构》中有详细的证明过程，我就不赘述啦，这里我只给出具体实现的代码。

扩展阅读：

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#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <stack>
using namespace std;

const int MAXN = 1010;
const int MAXM = 10010;

struct Edge
{
	int v, w;
	int id;
	int next;
}edge[MAXM];

int n, m;
int cnt;

int first[MAXN], topo[MAXN];
int ind[MAXN], outd[MAXN];
int tot;
int Ee[MAXN], El[MAXN], E[MAXN], L[MAXN];
/*Ee表示事件最早可能发生时间，El表示事件最迟允许发生时间*/
/*E表示活动最早可能发生时间，L表示活动最迟允许发生时间*/

void init()
{
	cnt = 0;
	tot = 0;
	memset(first, -1, sizeof(first));
	memset(ind, 0, sizeof(ind));
	memset(outd, 0, sizeof(outd));
	memset(Ee, 0, sizeof(Ee));
	memset(E, 0, sizeof(E));
	memset(L, 0, sizeof(L));
}

void read_graph(int u, int v, int w, int id)
{
	edge[cnt].v = v, edge[cnt].w = w, edge[cnt].id = id;
	edge[cnt].next = first[u], first[u] = cnt++;
}

void toposort() //拓扑排序 
{
	queue<int> q;
	for(int i = 0; i < n; i++) if(!ind[i]) q.push(i);
	while(!q.empty())
	{
		int x = q.front(); q.pop();
		topo[++tot] = x;
		for(int e = first[x]; e != -1; e = edge[e].next)
		{
			int v = edge[e].v, w = edge[e].w;
			if(--ind[v] == 0) q.push(v);
			if(Ee[v] < Ee[x] + w) //求出各个顶点Ee值 
			{
				Ee[v] = Ee[x] + w;
			}
		}
	}
}

void CriticalPath()
{
	toposort();
	int top = tot;
	int Max = 0;
	for(int i = 0; i < n; i++) Max = max(Max, Ee[i]); //注意，初始化时为Ee中的最大值，否则会报错。 
	for(int i = 0; i < n; i++) El[i] = Max; 
	while(top) //逆拓扑排序求顶点El的值 
	{
		int x = topo[top--];
		for(int e = first[x]; e != -1; e = edge[e].next)
		{
			int v = edge[e].v, w = edge[e].w;
			if(El[x] > El[v] - w)
			{
				El[x] = El[v] - w;
			}
		}
	}
	for(int u = 0; u < n; u++) //求出E,L关键活动 
	{
		for(int e = first[u]; e != -1; e = edge[e].next)
		{
			int v = edge[e].v, id = edge[e].id, w = edge[e].w; //id代表活动的标号 
			E[id] = Ee[u], L[id] = El[v] - w;
			if(E[id] == L[id]) //相等一定是关键活动 
			{
				printf("a%d : %d->%d\n", id, u, v);
			}
		}
	}
}

void read_case()
{
	init();
	for(int i = 1; i <= m; i++)
	{
		int u, v, w;
		scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
		read_graph(u, v, w, i); //read_graph
		outd[u]++, ind[v]++;
	}
}

int main()
{
	while(~scanf("%d%d", &n, &m))
	{
		read_case();
		printf("\nThe Critical activities are:\n");
		CriticalPath();
	}
	return 0;
}


/*
input :
9 11
0 1 6
0 2 4
0 3 5
1 4 1
2 4 5
3 5 2
4 6 9
4 7 7
5 7 4
6 8 2
7 8 4
*/

/*
output:
a2 : 0->2  //a1 : 0->1
a5 : 2->4 //a4 : 1->4
a8 : 4->7
a7 : 4->6
a10 : 6->8
a11 : 7->18
*/