问题描述

最长公共子串(Longest Common Substring ,简称LCS)问题，是指求给定的一组字符串长度最大的共有的子串的问题。例如字符串"abcb","bca","acbc"的LCS就是"bc"。

求多串的LCS，显然穷举法是极端低效的算法。可以用动态规划算法求解。

动态规划求解

1 描述最优子结构

记X_m={x₁,…x_m}和Y_n={y₁,…,y_n}为两个字符串，而Z_k={z₁,…z_k}是它们的最长公共子串，则：

1） 如果x_m=y_n，那么z_k=x_m=y_n，并且Z_k-1是X_m-1和Y_n-1的一个最长公共子串；
2）如果x_m≠y_n，那么当z_k为空；

2 递归定义最优解的值

有了上面的性质，我们可以得出如下的思路：求两字符串X_m={ x₁,…x_m}和Y_n={y₁,…,y_n}的LCS，如果x_m=y_n，那么只需求得X_m-1和Y_n-1的最长公共子串，并在其后添加x_m（y_n）即可；如果x_m-1≠y_n-1，那么他们的最长公共子串为0。

记字符串X_i和Y_j的一个最长公共子串的长度为c[i,j]。如果i=0或j=0，其中一个的长度为0，因此最长公共子串的长度为0。由最长公共子串问题的最优子结构可得递归式：

          / 0                                if i=0 or j=0
c[i,j]=     c[i-1,j-1]+1             if i,j>0 and x_i=y_j
         \     0                             if i,j>0 and x_i≠y_j

3 按自底向上方式计算最优解的值

    上面的公式用递归函数不难求得。但直接递归（自顶向下）会有很多重复计算，我们用从底向上循环求解的思路效率更高。

为了能够采用循环求解的思路，求取c[i,j]可以从c[i-1,j-1] 这个方向计算得到，相当于在矩阵c[0...m,0...n]中是从c[i-1,j-1]这个方向移动到c[i,j]，因此在矩阵中c[i,j]回溯到c[i-1,j-1]的方向是左上方，因为c中值不为0的地方的回溯只有这一个方向，所以不需要用另外一个矩阵b[1..m,1..n]来保存移动的方向。以字符串X=“BABA”和Y=“ABAB”为例，说明这个过程：

第一步初始化c[0,j]和c[i,0]

根据递归公式给c数组赋值如下

根据每一步做出选择的过程（图中箭头）和c中最大值，可以回溯构造出最优解，由此得到的最大公共子串为“BAB”和"ABA"

伪代码如下：

LongestCommonSubstring(x,y){ 
 //初始化 i=0 或j=0
 for i=0 to n
    c[i,0]=0;
 for j=0 to m
    c[0,j]=0;

 for i=1 to m{
     for j=1 to n{
	    if(x[i]=y[j])
		   c[i,j]=c[i-1,j-1]+1;
		else
		   c[i,j]=0;
	 }//end for
 }//end for
}//end LongestCommonSubstring()

算法时间复杂度为O(mn)。

4 由计算出的结果构造一个最优解

由返回的表b和最大值可以用来快速构造X_m={ x₁,…x_m}和Y_n={y₁,…,y_n}的一个最长公共子串。首先在c中找到最大值的位置，然后从这个位置处开始，沿着当前箭头指向在表格中找到下一个位置，由此跟踪下去。

/**
*i,j为最大值在c中的位置
*/
Print-LCS(b,X,i,j)
  //base case
  if i=0 或 j=0
     return
  else
     then Print-LCS(b,X,i-1,j-1)