学步园

题目：

Given a m x n grid filled with non-negative numbers, find a path from top left to bottom right which minimizes the sum of all numbers along its path.

Note: You can only move either down or right at any point in time.

思路：

本题回溯法即可得到答案。但是关于回溯是否会超时，一般情况下都会。这种题目的目的就是使用DP求解。因此我并没有考虑回溯。

既然使用DP，就需要知道其状态时怎么变化的。题目中Note强调，移动只能从左向右或从上向下。这是DP求解的关键条件。也就是说

某个待定状态的左边和上面的状态都已经是确定的。在本题中，状态表示权值之和，即sum of the numbers passed.

而第一行和第一列的状态呢？第一行，没有从上往下，因此，其状态只能来源于左边。

同理，第一列的状态只能来自于上面。这就是状态的初始化，将该状态记录在一个新的数组w中，该数组大小跟所给矩阵grid一样即可。

分别在w的第一行和第一列初始化状态。

之后的每个w的位置，都是从左往右，从上往下计算，即逐行遍历。每一个元素都有来自上方的状态和来自左边的状态，到底用哪个方向呢？这是需要

状态转移方程：

          w[i][j] = min{w[i-1][j]+grid[i][j],w[i][j-1]+grid[i][j]}

选择最小的即可。

等计算到i=m,j=n的时候，w[i][j]就是最小值。

为了解释方便，以下为一个实例：

如表，a的位置需要计算来自上面的9和来自左边的7，从而选择一个最小的。

该题不属于贪心，因为贪心不关心其他无关的状态，不会记录非路径上的状态值，因此也就无法从全局的角度去全面考虑到最优解。

拓展：如果需要得到路径，则只需要从w[m][n]出发，依次向前一个状态寻找即可，当前状态-当前grid值=上一个状态，则上一个grid元素就一定在这个路径上。

但是该方法不能找到所有最优路径。假设，最优路径不止一条，则该方法只能顺藤摸瓜的找到某一条。

AC代码：

public int minPathSum(int[][] grid) {
        int m = grid.length;
        int n = grid[0].length;
        int[][] w = new int[m][n];
        w[0][0] = grid[0][0];
        for(int i=1;i<n;i++){
            w[0][i] = w[0][i-1]+grid[0][i];
        }
        for(int i=1;i<m;i++){
            w[i][0] = w[i-1][0]+grid[i][0];
        }


        for(int i=1;i<m;i++){
            for(int j=1;j<n;j++){
                int fromUp = w[i-1][j]+grid[i][j];
                int fromLeft = w[i][j-1]+grid[i][j];
                w[i][j] = fromLeft<fromUp?fromLeft:fromUp;
            }
        }

        return w[m-1][n-1];
    }