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四元数是最简单的超复数。复数是由实数加上元素
i 组成，其中i^2 = -1。 相似地，四元数都是由实数加上三个元素 i、j、k 组成，而且它们有如下的关系： i^2 = j^2 = k^2 = -1 , 每个四元数都是 1、i、j 和 k 的线性组合，即是四元数一般可表示为a + bi + cj + dk，其中a、b、c 、d是实数。

       以两种形式来描述四元数。其中一种是向量与标量的结合，另一形式两个创建量(constructor)与双向量(bivector；i、j与k)的结合。

定义两个四元数:

其中表示矢量<b, c, d>，而表示矢量<x,
y, z>.

      矩阵表示

有两种方法能以矩阵表示四元数，并以矩阵之加法、乘法应用于四元数之加法、乘法。

第一种是以二阶复数矩阵表示。若 h = a + bi + cj + dk 则它的复数形式为：

这种表示法有如下优点：

所有复数 (c = d = 0) 就相应于一个实矩阵。

四元数的绝对值的平方就等于矩阵的行列式。

四元数的共轭值就等于矩阵的共轭转置。

对于单位四元数 (|h| = 1）而言，这种表示方式给了四维球体和SU（2）之间的一个同型，而后者对于量子力学中的自旋的研究十分重要。（请另见泡利矩阵）

第二种则是以四阶实数矩阵表示：

其中四元数的共轭等于矩阵的转置。

运算

综述

四元数运算在电动力学与广义相对论中有广泛的应用。四元数可以用来取代张量表示。有时候采用带有复数元素之四元数会比较容易，导得结果不为除法代数之形式。然而亦可结合共轭运算以达到相同的运算结果。

此处仅讨论具有实数元素之四元数，并将以两种形式来描述四元数。其中一种是向量与纯量的结合，另一形式两个创建量（constructor）与双向量（bivector；i、j与k）的结合。

定义两个四元数：

其中

表示矢量

；而

表示矢量

。

四元数加法：p
+ q

跟复数、向量和矩阵一样，两个四元数之和需要将不同的元素加起来。

加法遵循实数和复数的所有交换律和结合律。

四元数乘法：pq

两个四元数之间的非可换乘积通常被格拉斯曼（Hermann Grassmann）称为积，这个积上面已经简单介绍过，它的完整型态是︰

由于四元数乘法的非可换性，pq并不等于qp。格拉斯曼积常用在描述许多其他代数函数。qp乘积的向量部分是：

四元数点积：
p · q

点积也叫做欧几里德内积，四元数的点积等同于一个四维向量的点积。点积的值是p中每个元素的数值与q中相应元素的数值的乘积的和。这是四元数之间的可换积，并返回一个标量。

点积可以用格拉斯曼积的形式表示：

这个积对于从四元数分离出一个元素有用。例如，i项可以从p中这样提出来：

四元数外积：Outer(p,q)

欧几里德外积并不常用； 然而因为外积和内积的格拉斯曼积形式的相似性，它们总是一同被提及：

四元数偶积：Even(p,q)

四元数偶积也不常用，但是它也会被提到，因为它和奇积的相似性。它是纯对称的积；因此，它是完全可交换的。

叉积：p
× q

四元数叉积也称为奇积。它和向量叉积等价，并且只返回一个向量值：

四元数转置：p−1

四元数的转置通过

被定义。它定义在上面的定义一节，位于属性之下（注意变量记法的差异）。其建构方式相同于复倒数（complex inverse）之构造：

一个四元数的自身点积是个纯量。四元数除以一个纯量等效于乘上此纯量的倒数，而使四元数的每个元素皆除以此一除数。

四元数除法：p−1q

四元数的不可换性导致了

和

的不同。这意味着除非p是一个标量，否则不能使用q/p这一符号。

四元数纯量部：Scalar(p)

四元数的标量部分可以用前面所述的点积来分离出来：

四元数向量部：Vector(p)

四元数的向量部分可以用外积提取出来，就象用点积分离标量那样：

四元数模：|p|

四元数的绝对值是四元数到原点的距离。

四元数符号数：sgn(p)

一复数之符号数乃得出单位圆上，一个方向与原复数相同之复数。四元数的符号数亦产生单位四元数：

四元数辐角：arg(p)

幅角函数可找出一4-向量四元数偏离单位纯量（即：1）之角度。此函数输出一个纯量角度。