无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。
为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：
问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到m-1的退出
，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
我们知道第一个人(编号一定是(m-1)%n) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2
并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换：
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-3 --> n-3
k-2 --> n-2
序列1： 0, 1, 2, 3 … n-2, n-1
序列2： 0, 1, 2, 3 … k-2, k, …, n-2, n-1
序列3： k, k+1, k+2, k+3, …, n-2, n-1, 1, 2, 3,…, k-2,
序列4：0, 1, 2, 3 …, 5, 6, 7, 8, …, n-3, n-2
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：
∵ k=m%n;
∴ x' = x+k = x+ m%n ; 而 x+ m%n 可能大于n
∴x'= (x+ m%n)%n = (x+m)%n
得到 x‘=(x+m)%n
如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：
令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n].
递推公式:
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f的数值，最后结果是f[n]。我们输出f[n]由于是逐级递推，不需要保存每个，程序也是异常简单：(注意编号是0 -- n-1)
#include <stdio.h> int main(void) { int n, m, i, s=0; printf ("N M = "); scanf("%d%d", &n, &m); for (i=2; i<=n; i++) s=(s+m)%i; printf ("The winner is %d\n", s); return 0 ; }时间复杂度为O(n)，相对于模拟算法已经有了很大的提高。算n，m等于一百万，一千万的情况不是问题了。可见，适当地运用数学策略，不仅可以让编程变得简单，而且往往会成倍地提高算法执行效率。
参照上面提供的思路，我认为可以类似的得到一个更易于明白的方法，设有（1,2,3，……，k-1，k，k+1，……，n）n个数，当k出列时，那么有
k+1 -->1
k+2 -->2
...
...
n -->n-k
1 -->n-k+1
...
...
k-1 -->n-1
由上面一组式子可以推出，若知道新产生的n-1个数中某个数x，那么很显然可以推出x在原数列里的位置，即x‘=（x+k）%n,由此，我们可以得到一个递推公式
f[1]=1
f[n]=(f[n-1]+k)%n （n>1）
如果你认为上式可以推出约瑟夫环问题的解，很不幸，你错了，上面的递推公式中，在某种情况下，f[n-1]+k会整除n，如n=2，k=3，这时我们修要对上式进行修正，
f[n]=(f[n-1]+k)%n;if(f[n]==0)f[n]=n;
问题得解。 程序代码如下：
#include<stdio.h> int main() { int n,k,s=1; scanf("%d%d",&n,&k); for(int i=2;i<=n;i+=1) { s=(s+k)%i; if(s==0)s=i; } printf("ans=%d\n",s); return 0; }当然，我们还可以用递归方法解决此问题：
#include<stdio.h> int main() { int jos(int n,int k); int n,k,s; scanf("%d%d",&n,&k); s=jos(n,k); printf("ans=%d\n",s); return 0; } int jos(int n,int k) { int x; if(n==1)x=1; else {x=(jos(n-1,k)+k)%n;if(x==0)x=n;} return x; }