【MCMF问题及数学模型】

　　在介绍最大流问题时，我们列举了一个最大物资输送流问题。如果这个问题的已知条件还包括每条边运送单位物资的费用，那么怎样运送，才能得到最大运输量，并且输送费用最少？这便是所谓最小费用最大流问题。
　　在最大流的有关定义的基础上，若每条有向边除权数c(e)（表示边容量）外还有另外一个权数w(e)（表示单位流所需费用），并且已求得该网络的最大流值为F， 那么最小费用最大流问题，显然可用以下线性规划模型加以描述：

　　　Min ∑ w(e)f(e)

e∈E

　满足 0≤f(e)≤c(e)　　，对一切e∈E

f+(v)=f-(v)　　　，对一切v∈V
　　 f+(x)=F　　　　　　（最大流约束）
　　　　　　　　 （或f-(y)=F )　

【算法思路】

    解决最小费用最大流问题，一般有两条途径。一条途径是先用最大流算法算出最大流，然后根据边费用，检查是否有可能在流量平衡的前提下通过调整边流量，使总费用得以减少？只要有这个可能，就进行这样的调整。调整后，得到一个新的最大流。
　  然后，在这个新流的基础上继续检查，调整。这样迭代下去，直至无调整可能，便得到最小费用最大流。这一思路的特点是保持问题的可行性（始终保持最大流），向最优推进。另一条解决途径和前面介绍的最大流算法思路相类似，一般首先给出零流作为初始流。这个流的费用为零，当然是最小费用的。然后寻找一条源点至汇点的增流链，但要求这条增流链必须是所有增流链中费用最小的一条。如果能找出增流链，则在增流链上增流，得出新流。将这个流做为初始流看待，继续寻找增流链增流。这样迭代下去，直至找不出增流链，这时的流即为最小费用最大流。这一算法思路的特点是保持解的最优性（每次得到的新流都是费用最小的流），而逐渐向可行解靠近（直至最大流时才是一个可行解）。
　　由于第二种算法和已介绍的最大流算法接近，且算法中寻找最小费用增流链，可以转化为一个寻求源点至汇点的最短路径问题，所以这里介绍这一算法。

　　 在这一算法中，为了寻求最小费用的增流链，对每一当前流，需建立伴随这一网络流的增流网络。例如图 1 网络G 是具有最小 费用的流，边旁参数为c(e) , f(e) , w(e)，而图 2 即为该网络流 的增流网络G′。增流网络的顶点和原网络相同。 按以下原则建 立增流网络的边：若G中边(u，v)流量未饱，即f(u,v) ＜ e(u,v)，则G ' 中建边(u,v)，赋权w
' (u,v)=w(u,v)；若G中边(u, v)已有流量，即f(u,v)〉0，则G′中建边(v,u)，赋权w′(v,u) =-w(u,v)。建立增流网络后，即可在此网络上求源点至汇点的最短路径，以此决定增流路径，然后在原网络上循此路径增流。这里，运用的仍然是最大流算法的增流原理，唯必须选定最小费用的增流链增流。
    计算中有一个问题需要解决。这就是增流网络G ′中有负权边，因而不能直接应用标号法来寻找x至y的最短路径，采用其它计算有负权边的网络最短路径的方法来寻找x至y的最短路径，将 大大降低计算效率。为了仍然采用标号法计算最短路径，在每次建立增流网络求得最短路径后,可将网络G的权w(e)做一次修正，使再建的增流网络不会出现负权边，并保证最短路径不至于因此而改变。下面介绍这种修改方法。
当流值为零，第一次建增流网络求最短路径时，因无负权边，当然可以采用标号法进行计算。为了使以后建立增流网络时不出现负权边，采取的办法是将 G中有流边（f(e)＞0）的权w(e)修正为0。为此， 每次在增流网络上求得最短路径后，以下式计算G中新的边权w " (u,v)：

w " (u,v)=L(u)-L(v)+w(u,v) (*)

　　式中 L(u),L(v) -- 计算G′的x至y最短路径时u和v的标号值。第一次求最短径时如果(u,v)是增流路径上的边， 则据最短 路径算法一定有 L(v)=L(u)+w ' (u,v)=L(u)+w(u,v)， 代入(*)式必有

w″(u,v)=0。

如果(u,v)不是增流路径上的边，则一定有：

　　　 L(v)≤L(u)+w(u,v)，
代入(*)式则有 w(u,v)≥0。

　　可见第一次修正w(e)后，对任一边，皆有w(e)≥0， 且有流 的边（增流链上的边），一定有w(e)=0。以后每次迭代计算，若 f(u,v)＞0，增流网络需建立(v,u)边，边权数w ' (v,u)=-w(u,v) =0，即不会再出现负权边。
    此外，每次迭代计算用(*)式修正一切w(e)， 不难证明对每一条x至y的路径而言，其路径长度都同样增加L(x)-L(y)。因此，x至y的最短路径不会因对w(e)的修正而发生变化。

【计算步骤】

１. 对网络G=[V,E,C,W]，给出流值为零的初始流。

２. 作伴随这个流的增流网络G′=[V′,E′,W′]。
G′的顶点同G：V′=V。
若G中f(u,v)＜c(u,v)，则G′中建边(u,v)，w(u,v)=w(u,v)。
若G中f(u,v)＞0，则G′中建边(v,u)，w′(v,u)=-w(u,v)。
３. 若G′不存在x至y的路径，则G的流即为最小费用最大流，
停止计算；否则用标号法找出x至y的最短路径P。
４. 根据P，在G上增流： 对P的每条边(u,v)，若G存在(u,v)，则(u,v)增流；若G存在(v,u)，则(v,u)减流。增（减）流后，应保证对任一边有c(e)≥ f(e)≥0。
５. 根据计算最短路径时的各顶点的标号值L(v)，按下式修 改G一切边的权数w(e):

　 L(u)-L(v)+w(e)→w(e)。　　

６. 将新流视为初始流，转２。