本文转载自：http://www.sigma.me/2011/09/13/hash-and-bloom-filter.html，谢谢帮助我理解
这几天的“科研”中涉及到了一个概念，Bloom Filter（有的中文翻译为布隆过滤器，不知道正确否），今天看了下相关的资料，发现这东西和Hash还挺有关系的，在这里一并讲下。
Hash（函数/表）
Hash （中译为哈希，或者散列）函数在计算机领域，尤其是数据快速查找领域，加密领域用的极广。其作用是将一个大的数据集映射到一个小的数据集上面（这些小的数据集叫做哈希值，或者散列值）。Hash table（散列表，也叫哈希表），是根据哈希值(Key value)而直接进行访问的数据结构。也就是说，它通过把哈希值映射到表中一个位置来访问记录，以加快查找的速度。下面是一个典型的hash函数/表示意图：
哈希函数有以下两个特点：
- 如果两个散列值是不相同的（根据同一函数），那么这两个散列值的原始输入也是不相同的。
- 散列函数的输入和输出不是唯一对应关系的，如果两个散列值相同，两个输入值很可能是相同的。但也可能不同，这种情况称为“散列碰撞”（或者“散列冲突”）。上图中，John Smith和Sandra Dee就存在hash冲突。
Hash一个应用就是对数据集分类，比如上图，Hash值为0的表示可能在A集合中，Hash值为2的表示B集合中，依次类推，值为15的表示F集合中。但Hash冲突会在这里会导致严重的问题，对于一个未知的新值，其可能不属于上面任何一个集合，但由于冲突，其Hash值和上面的某一个相同，导致误报（因为事先我们不可能做一个含有无限多项输入的完整的Hash表，也就是原来的Hash函数不可能是完美的）。并且，hash冲突也会导致查找效率低下。
Bloom Filter
Bloom Filter是1970年由Bloom提出的。它实际上是一个很长的二进制向量和一系列随机映射函数（Hash函数）。布隆过滤器可以用于检索一个元素是否在一个集合中。它的优点是空间效率和查询时间都远远超过一般的算法，缺点是有一定的误识别率和删除困难。Bloom Filter广泛的应用于各种需要查询的场合中，如Orocle的数据库，Google的BitTable也用了此技术。
如果想判断一个元素是不是在一个集合里，一般想到的是将所有元素保存起来，然后通过比较确定。链表，树等等数据结构都是这种思路. 但是随着集合中元素的增加，我们需要的存储空间越来越大，检索速度也越来越慢(O(n),O(logn))。
这时候就可以利用哈希表这个数据结构（它可以通过一个Hash函数将一个元素映射成一个位阵列（Bit array）中的一个点）。这样一来，我们只要看看这个点是不是1就知道可以集合中有没有它了。这就是Bloom Filter的基本思想。
但这时，哈希冲突会是一个问题：假设Hash函数是良好的，如果我们的位阵列长度为m个点，那么如果我们想将冲突率降低到例如 1%, 这个散列表就只能容纳m/100个元素。显然这就不叫空间效率了（Space-efficient）了。解决方法也简单，就是使用多个Hash，如果它们有一个说元素不在集合中，那肯定就不在。如果它们都说在，虽然也有一定可能性它们都在说谎，不过直觉上判断这种事情的概率是比较低的。这种多个Hash组成的数据结构就叫Bloom Filter。
一个Bloom Filter是基于一个m位的位向量（b1,…bm），这些位向量的初始值为0。另外，还有一系列的hash函数（h1,…hk），这些hash函数的值域属于1~m。下图是一个bloom filter插入x,y,z并判断某个值w是否在该数据集的示意图：
上图中，m=18，k=3；插入x是，三个hash函数分别得到蓝线对应的三个值，并将对应的位向量改为1，插入y，z时，类似的，分别将红线，紫线对应的位向量改为1。查找时，当查找x时，三个hash值对应的位向量都为1，因此判断x在此数据集中。y，z也是如此。但是查找w时，w有个hash值对应的位向量为0，因此可以判断不在此集合中。但是，假如w的最后那个hash值比上图中的大1，这是就会认为w在此集合中，而事实上，w可能不在此集合中，因此可能出现误报。显然的，插入数据越多，1的位数越多，误报的概率越大。
Wiki的Bloom Filter词条有关于误报的概率的详细分析：Probability of false positives。从分析可以看出，当k比较大时，误报概率还是比较小的，因此这存储还是很空间有效滴。
Bloom Filter有以下几个特点：
- 不存在漏报（False Negative），即某个元素在某个集合中，肯定能报出来。
- 可能存在误报（False Positive），即某个元素不在某个集合中，可能也被爆出来。
- 确定某个元素是否在某个集合中的代价和总的元素数目无关。
优点：
相比于其它的数据结构，Bloom Filter在空间和时间方面都有巨大的优势。Bloom Filter存储空间和插入/查询时间都是常数。另外, Hash函数相互之间没有关系，方便由硬件并行实现。Bloom Filter不需要存储元素本身，在某些对保密要求非常严格的场合有优势。
缺点：
另外，一般情况下不能从Bloom Filter中删除元素. 我们很容易想到把位列阵变成整数数组，每插入一个元素相应的计数器加1, 这样删除元素时将计数器减掉就可以了。然而要保证安全的删除元素并非如此简单。首先我们必须保证删除的元素的确在Bloom Filter里面. 这一点单凭这个过滤器是无法保证的。另外计数器回绕也会造成问题。
参考资料：
- http://en.wikipedia.org/wiki/Hash_function
- http://en.wikipedia.org/wiki/Bloom_filter
- http://antognini.ch/papers/BloomFilters20080620.pdf
- 本文转载自：http://www.sigma.me/2011/09/13/hash-and-bloom-filter.html，谢谢帮助我理解