问题：在过道上有100把上了锁的锁头。有一个人，第一次操作把这100把锁都打开了； 第二次操作，每隔1个锁他就把锁给锁上(即把编号2，4，6…100的锁锁上)。 第三次操作，每隔2个锁他就改变锁的状态，即如果原本是开着的，他就锁上； 原本是锁着的，他就给打开。(操作对象是编号为3,6,9…99的锁)。
当他做完第100次操作后(即只对编号为100的锁操作)，打开着的锁有几把？
分析：每次就改变一些锁的状态。第1把锁只会在第1次操作时被改变状态， 第2把锁会在第1次及第2次操作时被改变状态，假设能被i整除的数有a,b,c， (包含1和它本身)，那么第i把锁会被改变3次，分别是在第a，b，c次操作的时候。 这样一来，对于第i把锁，如果能被i整除的数有奇数个， 那么它最后的状态一定打开的，否则则是关闭的。问题就转换为1到100的数中， 哪些数能整除的数的个数有奇数个。而，一个数i如果能整除a， 那么它也可以整除i/a，这样一来，一个数能整除的数总是成对出现，
为了使个数是奇数，这里面一定要有一对是相等的，即a = i/a，也就是：i = a2， 所以，最后开着的锁就是编号为完全平方数的锁，即：
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100
一共有10把锁是打开着的。