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动态规划之最优二叉查找树

2018年05月18日 ⁄ 综合 ⁄ 共 4002字 ⁄ 字号 小 中 大 ⁄ 评论关闭

转载自大神：http://blog.csdn.net/xiajun07061225/article/details/8088784


一、什么是最优二叉查找树

最优二叉查找树：

给定n个互异的关键字组成的序列K=<k1,k2,...,kn>，且关键字有序（k1<k2<...<kn），我们想从这些关键字中构造一棵二叉查找树。对每个关键字ki，一次搜索搜索到的概率为pi。可能有一些搜索的值不在K内，因此还有n+1个“虚拟键”d0,d1,...,dn，他们代表不在K内的值。具体：d0代表所有小于k1的值，dn代表所有大于kn的值。而对于i = 1,2,...,n-1,虚拟键di代表所有位于ki和ki+1之间的值。对于每个虚拟键，一次搜索对应于di的概率为qi。要使得查找一个节点的期望代价（代价可以定义为：比如从根节点到目标节点的路径上节点数目）最小，就需要建立一棵最优二叉查找树。

图一显示了给定上面的概率分布pi、qi，生成的两个二叉查找树的例子。图二就是在这种情况下一棵最优二叉查找树。


概率分布：

i

0

1

2

3

4

5

pi

0.15

0.10

0.05

0.10

0.20

qi

0.05

0.10

0.05

0.05

0.05

0.10

已知每个关键字以及虚拟键被搜索到的概率，可以计算出一个给定二叉查找树内一次搜索的期望代价。假设一次搜索的实际代价为检查的节点的个数，即所发现的节点的深度加1.计算一次搜索的期望代价等式为：


建立一棵二叉查找树，如果是的上式最小，那么这棵二叉查找树就是最优二叉查找树。

而且有下式成立：



二、最优二叉查找树的最优子结构

最优子结构：

如果一棵最优二叉查找树T有一棵包含关键字ki,..,kj的子树T'，那么这可子树T'对于关键字Ki,...,kj和虚拟键di-1,...dj的子问题也必定是最优的。可以应用剪贴法证明。


根据最优子结构，寻找最优解：

给定关键字ki,...,kj，假设kr(i<=r<=j)是包含这些键的一棵最优子树的根。其左子树包含关键字ki,...,kr-1和虚拟键di-1,...,dr-1，右子树包含关键字kr+1,...,kj和虚拟键dr,...dj。我们检查所有的候选根kr,就保证可以找到一棵最优二叉查找树。


递归解：

定义e[i,j]为包含关键字ki,...,kj的最优二叉查找树的期望代价，最终要计算的是e[1,n]。

当j = i - 1时，此时子树中只有虚拟键，期望搜索代价为e[i,i - 1] = qi-1.

当j >= i时，需要从ki,...,kj中选择一个根kr，然后分别构造其左子树和右子树。下面需要计算以kr为根的树的期望搜索代价。然后选择导致最小期望搜索代价的kr做根。

现在需要考虑的是，当一棵树成为一个节点的子树时，期望搜索代价怎么变化？子树中每个节点深度都增加1.期望搜索代价增加量为子树中所有概率的总和。

对一棵关键字ki,...,kj的子树，定义其概率总和为：


因此，以kr为根的子树的期望搜索代价为：


而


因此e[i,j]可以进一步写为：


这样推导出最终的递归公式为：



三、代码实现（C++）：

[cpp] view
plaincopyprint?

  1. //最优二叉查找树  
  2.   
  3. #include <iostream>  
  4.   
  5. using namespace std;  
  6.   
  7. const int MaxVal = 9999;  
  8.   
  9. const int n = 5;  
  10. //搜索到根节点和虚拟键的概率  
  11. double p[n + 1] = {-1,0.15,0.1,0.05,0.1,0.2};  
  12. double q[n + 1] = {0.05,0.1,0.05,0.05,0.05,0.1};  
  13.   
  14. int root[n + 1][n + 1];//记录根节点  
  15. double w[n + 2][n + 2];//子树概率总和  
  16. double e[n + 2][n + 2];//子树期望代价  
  17.   
  18. void optimalBST(double *p,double *q,int n)  
  19. {  
  20.     //初始化只包括虚拟键的子树  
  21.     for (int i = 1;i <= n + 1;++i)  
  22.     {  
  23.         w[i][i - 1] = q[i - 1];  
  24.         e[i][i - 1] = q[i - 1];  
  25.     }  
  26.   
  27.     //由下到上，由左到右逐步计算  
  28.     for (int len = 1;len <= n;++len)  
  29.     {  
  30.         for (int i = 1;i <= n - len + 1;++i)  
  31.         {  
  32.             int j = i + len - 1;  
  33.             e[i][j] = MaxVal;  
  34.             w[i][j] = w[i][j - 1] + p[j] + q[j];  
  35.             //求取最小代价的子树的根  
  36.             for (int k = i;k <= j;++k)  
  37.             {  
  38.                 double temp = e[i][k - 1] + e[k + 1][j] + w[i][j];  
  39.                 if (temp < e[i][j])  
  40.                 {  
  41.                     e[i][j] = temp;  
  42.                     root[i][j] = k;  
  43.                 }  
  44.             }  
  45.         }  
  46.     }  
  47. }  
  48.   
  49. //输出最优二叉查找树所有子树的根  
  50. void printRoot()  
  51. {  
  52.     cout << "各子树的根：" << endl;  
  53.     for (int i = 1;i <= n;++i)  
  54.     {  
  55.         for (int j = 1;j <= n;++j)  
  56.         {  
  57.             cout << root[i][j] << " ";  
  58.         }  
  59.         cout << endl;  
  60.     }  
  61.     cout << endl;  
  62. }  
  63.   
  64. //打印最优二叉查找树的结构  
  65. //打印出[i,j]子树，它是根r的左子树和右子树  
  66. void printOptimalBST(int i,int j,int r)  
  67. {  
  68.     int rootChild = root[i][j];//子树根节点  
  69.     if (rootChild == root[1][n])  
  70.     {  
  71.         //输出整棵树的根  
  72.         cout << "k" << rootChild << "是根" << endl;  
  73.         printOptimalBST(i,rootChild - 1,rootChild);  
  74.         printOptimalBST(rootChild + 1,j,rootChild);  
  75.         return;  
  76.     }  
  77.   
  78.     if (j < i - 1)  
  79.     {  
  80.         return;  
  81.     }  
  82.     else if (j == i - 1)//遇到虚拟键  
  83.     {  
  84.         if (j < r)  
  85.         {  
  86.             cout << "d" << j << "是" << "k" << r << "的左孩子" << endl;  
  87.         }  
  88.         else  
  89.             cout << "d" << j << "是" << "k" << r << "的右孩子" << endl;  
  90.         return;  
  91.     }  
  92.     else//遇到内部结点  
  93.     {  
  94.         if (rootChild < r)  
  95.         {  
  96.             cout << "k" << rootChild << "是" << "k" << r << "的左孩子" << endl;  
  97.         }  
  98.         else  
  99.             cout << "k" << rootChild << "是" << "k" << r << "的右孩子" << endl;  
  100.     }  
  101.   
  102.     printOptimalBST(i,rootChild - 1,rootChild);  
  103.     printOptimalBST(rootChild + 1,j,rootChild);  
  104. }  
  105.   
  106. int main()  
  107. {  
  108.     optimalBST(p,q,n);  
  109.     printRoot();  
  110.     cout << "最优二叉树结构：" << endl;  
  111.     printOptimalBST(1,n,-1);  
  112. }  

我们将表e、w以及root旋转45°，便于查看上述程序的计算过程。上述代码核心在于函数optimalBST，其计算顺序是从下到上、从左到右。首先是依据概率数组pi、qi初始化：给最下面的一行赋值。然后是三个for循环：从下到上计算表中每一行的值，可以充分利用前面计算出来的结果。如果每当计算e[i][j]的时候都从头开始计算w[i][j]，那么需要O(j-i)步加法，但是将这些值保存在表w[1...n+1][0...n]中，就避免这些复杂的计算。

输出结果：

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