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CRC码的生成步骤

1、将x的最高幂次为R的生成多项式G(x)转换成对应的R+1位二进制数。

2、将信息码左移R位，相当与对应的信息多项式C(x)*2^R

3、用生成多项式（二进制数）对信息码做模2除，得到R位的余数。

4、将余数拼到信息码左移后空出的位置，得到完整的CRC码。

【例】假设使用的生成多项式是G(x)=x³+x+1。4位的原始报文为1010，求编码后的报文。

解：

1、将生成多项式G(x)=x³+x+1转换成对应的二进制除数1011。

2、此题生成多项式有4位（R+1），要把原始报文C(x)左移3（R）位变成1010000

3、用生成多项式对应的二进制数对左移4位后的原始报文进行模2除：

1001-------商

------------------------

1010000

1011----------除数

------------

1000

1011

------------

011-------余数（校验位）

5、编码后的报文（CRC码）：

1010000

+       011

------------------

1010011

CRC的和纠错

在接收端收到了CRC码后用生成多项式为G(x)去做模2除，若得到余数为0,则码字无误。若如果有一位出错，则余数不为0，而且不同位出错，其余数也不同。可以证明，余数与出错位的对应关系只与码制及生成多项式有关，而与待测碼字（信息位）无关。图10给出了G(x)＝1011，C(x)＝1010的出错模式，改变C(x)（码字），只会改变表中码字内容，不改变余数与出错位的对应关系。

图10 （7，4）CRC码的出错模式（G(x)＝1011）

如果循环码有一位出错，用G(x)作模2除将得到一个不为0的余数。如果对余数补0继续除下去，我们将发现一个有趣的结果；各次余数将按图10顺序循环。例如第一位出错，余数将为001，补0后再除，第二次余数为010，以后依次为100，0ll…，反复循环，这就是“循环码”名称的由来。这是一个有价值的特点。如果我们在求出余数不为0后，一边对余数补0继续做模2除，同时让被检测的校验码字循环左移。图10说明，当出现余数(101)时，出错位也移到A₇位置。可通过异或门将它纠正后在下一次移位时送回A₁。这样我们就不必像海明校验那样用译码电路对每一位提供纠正条件。当位数增多时，循环码校验能有效地降低硬件代价，这是它得以广泛应用的主要原因。

通信与网络中常用的CRC

在数据通信与网络中，通常k相当大，由一千甚至数千数据位构成一帧，而后采用CRC码产生r位的校验位。它只能检测出错误，而不能纠正错误。一般取r=16，标准的16位生成多项式有CRC-16＝x¹⁶+x¹⁵+x²+1 和 CRC-CCITT＝x¹⁶+x¹⁵+x²+1。

一般情况下，r位生成多项式产生的CRC码可检测出所有的双错、奇数位错和突发长度小于等于r的突发错以及（1-2^-(r-1)）的突发长度为r+1的突发错和（1-2^-r）的突发长度大于r+1的突发错。例如，对上述r=16的情况，就能检测出所有突发长度小于等于16的突发错以及99．997%的突发长度为17的突发错和99．998%的突发长度大于17的突发错。所以CRC码的检错能力还是很强的。这里，突发错误是指几乎是连续发生的一串错，突发长度就是指从出错的第一位到出错的最后一位的长度(但是，中间并不一定每一位都错)。

【例1】某循环冗余码（CRC）的生成多项式 G(x)＝x³+x²+1，用此生成多项式产生的冗余位，加在信息位后形成 CRC 码。若发送信息位 1111 和 1100 则它的 CRC 码分别为＿A＿和＿B＿。由于某种原因，使接收端收到了按某种规律可判断为出错的 CRC 码，例如码字＿C＿、＿D＿、和＿E＿。（1998年试题11）
供选择的答案

解：

A：G(x)＝1101，C(x)＝1111 C(x)*2³÷G(x)＝1111000÷1101＝1011余111

得到的CRC码为1111111

B：G(x)＝1101，C(x)＝1100 C(x)*2³÷G(x)＝1100000÷1101＝1001余101

得到的CRC码为1100101

C～E：

分别用G(x)＝1101对①～⑧ 作模2除: ① 0000000÷1101 余000  ② 1111101÷1101 余001

③ 0010111÷1101 余000  ④ 0011010÷1101 余000  ⑤ 1000110÷1101 余000

⑥ 1001111÷1101 余100  ⑦ 1010001÷1101 余000  ⑧ 1011000÷1101 余100

所以＿C＿、＿D＿和＿E＿的答案是②、⑥、⑧

【例2】计算机中常用的一种检错码是CRC，即 _A_ 码。在进行编码过程中要使用 _B_ 运算。假设使用的生成多项式是 G(X)=X4+X3+X+1， 原始报文为11001010101，则编码后的报文为 _C_ 。CRC码 _D_ 的说法是正确的。

在无线电通信中常采用它规定码字长为7位．并且其中总有且仅有3个“1”。这种码的编码效率为_E_。

供选择的答案：

A：① 水平垂直奇偶校验                        ② 循环求和                        ③ 循环冗余                        ④正比率

B：① 模2除法                        ②定点二进制除法                        ③二－十进制除法                        ④循环移位法

C：① 1100101010111                        ② 110010101010011                 

③ 110010101011100                        ④ 110010101010101

D：① 可纠正一位差错                                                ②可检测所有偶数位错

③ 可检测所有小于校验位长度的突发错                  ④可检测所有小于、等于校验位长度的突发错

E：① 3/7       ② 4/7       ③ log₂3/log₂7     ④ (log₂35)/7

解：从前面有关CRC的论述中可得出：  A：③ 循环冗余  B：① 模2除法 

 C：G(x)＝11011，C(x)＝11001010101，C(x)*24÷G(x)＝110010101010000÷11011 余0011

 得到的CRC码为② 110010101010011

D：从前面有关通信与网络中常用的CRC的论述中可得出：④ 可检测所有小于、等于校验位长度的突发错

E：定比码又叫定重码，是奇偶校验的推广。在定比码中，奇数或偶数的性质保持不变，然而附加一种限制，每个字中1的总数是固定的。随用途之不同，定比码要求的附加校验位可能多于一个，但较之单一的奇偶校验将增加更多的检错能力。

所谓7中取3定比码，就是整个码字长度为7位，其中1的位数固定为3。所有128个7位代码（0000000～1111111）中只有1的位数固定为3的才是其合法码字。可以用求组合的公式求出其合法码字数为：C₇³＝7!/(3!*(7-3)!)＝7*6*5/(1*2*3)＝35

编码效率＝合法码字所需位数/码字总位数＝(log₂35)/7