长期以来，不管是数学系的学生，还是其他专业的学生，甚至是中学生，对于数学的反应普遍是难学，那么什么是难学呢？是什么原因导致数学难学呢？最近反复看庞加莱的书《科学与方法》（商务印书馆，李醒民译），其中第二编第二章谈到‘数学定义和教学’，其观点非常有意义，结合我的30多年学习数学的经验和理解，我觉得有必要对于数学的学习问题做个较为深入的探讨。
其实所谓难学，并不是书上的字不认识，无非都是汉字和字母构成，没有一个不认识的，但是连在一起就未必认识了，即便认识了，甚至可以做习题了，但是依然觉得不懂。这里说的是理解的问题。那么什么是理解呢？庞加莱说道：
“这个词对于所有世人具有相同的意义吗？相继审查组成定理证明的每一个演绎推理，弄清它的正确性、它与游戏规则的一致性，这就是理解一个定理的证明吗？同样的，为了理解一个定义，这仅仅是辨认人们已经知道的所使用的全部词的意义并弄清它不隐含矛盾吗？对于一些人来说，情况就是这样；当他们这样做了，他们将说：我理解了。对于大多数人来说，情况并非如此。几乎所有的人都更为苛求；他们希望了解的不仅是证明的所有演绎推理是否正确，而且是它们为什么以这种秩序而不以另外的秩序联系起来。对他们来说，它们似乎是由任性产生的，而不是有总是意识到所达目标的理智产生的，他们不认为他们理解了。”
庞加莱继续说：“无疑的，他们本身恰恰没有意识到他们渴望的东西，他们不能系统的阐述他们的欲望，但是，如果他们得不到满足，那么他们便模糊的感觉到缺乏某些东西。于是，会发生什么情况呢？一开始，他们还觉察到人们摆在他们面前的论证；他们不久便遗忘了；他们很快使一瞬间的亮光消失在永恒的暗夜中。”
“人们总是询问，这有什么用处；如果他们在实践中或自然界中找不到它们，他们将不能理解如此这般的数学概念的正当理由。在每一个词下，他们都希望提出明显的图像；定义必须唤起这个图像，以致在定理证明的每一个步骤中，他们可以看到它变换和发展。只有在这一条件下，他们才能理解和记住。这些常常欺骗他们自己；他们不听信推理，他们着眼于图形；他们自以为他们理解了，他们只是看见。”
这里强调的是人们对于理解的感觉，而不是对于文字的字面解释，即便是字面都明白，但是内心深处的感觉就是不大对劲，这就是说，感性和理性的分离矛盾，正好比一个转向的人尽管可以通过理性去辨认东南西北方位，但是主观的感觉总是觉得不对。这就是所谓的理解障碍。人们学习数学首先遇到的就是理解障碍。越是到了数学学习的高级阶段，这种理解障碍遇到的机会就越大。比如，我们学习极限的时候会遇到，这是因为我们还从来没有试图在生活中体验无限是什么。当我们第一次试图解释什么是无限的时候，拗口的语言所描述的那一套逻辑在生活中找不到原型，甚至找不到类似的可以比较。这就产生了理解障碍。当我们从数学分析过渡到泛函分析的时候，从平面几何、解析几何到拓扑的时候，我们一样会遇到理解障碍，这是从具体到抽象的跨越。在跨越这些理解障碍的时候，我们的思想深处对于抽象逻辑的熟练程度并不深，还没有真正的掌握抽象逻辑的好处。
我们从小学习数学总是从物理世界开始的，从直观开始的，但是数学具有天生的抽象性。比如，学习整数加法的时候，我们可以用类似手指头之类的实际物体在边上进行示意。学习乘法的时候，也是多个相同加法的另一种描述。更近一步，庞加莱举例说“在小学，要定义分数，人们切开苹果或者馅饼；当然这是在内心切开，实际上并没有切开，因为我没有假定初等教育的预算容许如此挥霍。另一个方面，到了大学，却说分数是用水平线分开的两个整数的组合；我们通过约定定义这些符号可以服从的运算，也可以严格地定义分数。。。。。但是如果有人试图把这种抽象的定义给予初学者，那岂不是使他呆若木鸡。”
这深刻的表明，由于人类认知能力并不能天生的形成（也许有人会对此有不同意见），而是一个不断提高的过程。开始我们会依赖物理的或者等价的说，是经验的，来学习数学的基本知识，但是数学为了能够完成它的复杂任务，停留在直观的角度并不能带来好处。那就意味着，我们在教育的过程中，应该重点强调，我们的学习就是一个从直观的、经验的，到抽象的逻辑思辨的过程。对于学生来说，就是要尽早尽快的适应这些抽象的逻辑，而不是仅仅停留在直观的角度。
庞加莱又举了一个例子：“假定我们在一个班级里，老师讲到：圆是与称之为圆心的内部一点等距的点的轨迹（这个在解析几何中很显然的定义）。好学生在他的笔记本上写下这句话；差学生拉长了脸；但是，无无论谁都不理解其含义；于是，老师拿起粉笔，在黑板上画了一个圆。学生认为：啊！他为什么不同时说圆是环形物呢，否则我们早该理解了。毫无疑问，老师的定义更科学，学生的定义是无效的，因为它不能用于证明，而且不能培养学生分析概念的有益习惯。但是，人们应该向他们说明，他们并不理解他们自以为知道的东西，应该引导他们意识到他们的原始概念的粗糙性，意识到他们需要使概念变得纯粹、变得精确。”
尽管数学看似更精确，但是公理化系统的努力最后的结果表明，经验的、直觉的仍然是最基本的基础，不过这不妨碍建立在有限的几个直觉基础之上的数学命题本身的抽象性。与我们直觉上喜欢的形象相比，数学要抽象的多。我们总是试图用粗糙的概念去解读遇到的数学问题，这就造成了理解障碍。
我们直觉粗糙的另一个鲜明的例子是，我们心目当中的连续性，其实是很光滑的连续，和我们严格定义的连续并不完全吻合，事实上，我们可以构造出处处连续而处处不可导的例子。这和我们的直觉相差很大。实际上，在大多数情况下，我们都是粗糙的感觉。
粗糙的直觉依然有用。假如把我们直觉形成集合A，自然界形成的集合是B,数学的描述集合是C，那么真实的情况将是A属于B，B属于C。也就是说，虽然数学严格了，抽象了，但是似乎并没有创造出更多的东西，而仅仅是多了一些无用的垃圾。实际上，对于数学上描述的能量有限的（平方可积函数类）函数，几乎所有的这样函数都是没有实际价值的，有实际价值往往是有一定的光滑性，或者和光滑性类似的性质的东西。如果学生一上来就学习处处连续而处处不可导的函数，估计没有几个愿意学习下去。
数学的另一个难学的原因在于，数学的知识体系是有序的。所谓有序，那就是数学知识类似楼梯一样，不能做跨越式的学习（大多数如此）。如果用高等数学的名词来解释，那就是高阶马尔科夫链。每一个学习环节都要依赖之前学习过的很多个环节的数学知识。这就导致我们必须从金字塔的底端开始学习，一个台阶一个台阶上，假如在某一个台阶遇到了理解障碍，后续的学习不堪设想。而且学了之后，必须熟练，否则后续的学习一样遇到困难。基本可以肯定的说，一个能够把大学本科数学系的教材通达无碍的学习下来的同学未来基本上是个较为优秀的学者。因为作为搞学术研究的我们，在学习的路上似乎都遇到过理解障碍的情况。也许没有遇到理解障碍的人，才是真正的天才。
那么这种理解力从何而来呢？ 我们既然知道数学的学习有赖于这种理解力，我们自然希望我们能够及时的获得这样的理解力。但是，很遗憾，没有一个有效地办法去很快的提高人的理解力。正好相反，数学正是锻炼和提高理解力的有效工具。可是，我们的时间是有限的，我们在学习数学的过程中，一边被训练，一边被数学淘汰。事实就这么残酷。我们只能寄希望于我们在学习的过程中不要被更早的淘汰，仅此而已。
总的来说，数学是人类理解自然的产物，也一定脱离不了自然。但是我们学习数学的方法，或者老师教学的方法却有很大的改善空间。针对不同的人制定不同的理解力提高训练是非常有必要的。但是由于资源有限，我们今天的教育还只能是大面积的普及式的教育，并不能让所有的人都能体验到人类这个发明的魅力。